GRAVITATION

Calcul de $L$ et $\frac{dL}{d\phi }$

En remplaçant $\frac{du}{d\phi }$ par sa valeur (2.k) dans l’expression $\tan L=\frac{1}{u}\frac{du}{d\phi }$, il vient :
$\tan L=\pm \sqrt{\frac{R_s}{b^{2}u}-1+\frac{1}{b^2{u}^2}}=\pm \sqrt{\frac{R_{s}r}{b^2}-1+\frac{r^2}{b^2}}$(2.u),
sachant que $\frac{dL}{d\phi }=\frac{\frac{d\tan L(\phi )}{d\phi }}{1+{\tan }^{2}L(\phi )}=\frac{\frac{d\left(\frac{1}{u}\frac{du}{d\phi }\right)}{d\phi }}{1+{\tan }^{2}L(\phi )}$, il vient :
$\frac{dL}{d\phi }=\frac{\frac{1}{u}\frac{d^{2}u}{d{\phi }^2}-\frac{1}{u^2}{\left(\frac{du}{d\phi }\right)}^2}{\frac{R_s}{b^{2}u}+\frac{1}{b^2{u}^2}}$,
soit en remplaçant $\frac{d^{2}u}{d{\phi }^2}$ et ${\left(\frac{du}{d\phi }\right)}^2$ par leurs valeurs respectives données par (2.l) et (2.k) :
$\frac{dL}{d\phi }=\frac{\frac{1}{u}(-u+\frac{R_s}{2b^2})-\frac{1}{u^2}(\frac{R_{s}u}{b^2}-u^2+\frac{1}{b^2})}{\frac{R_s}{b^{2}u}+\frac{1}{b^2{u}^2}}=-\frac{(\frac{R_{s}u}{2}+1)}{(R_{s}u+1)}=-\frac{(\frac{R_s}{2r}+1)}{(\frac{R_s}{r}+1)}$(2.v),
applicable aux trajectoires des photons en mécanique classique.

Calcul de $E_{méca}$

(2.b) donne ${\left(\frac{du}{d\phi }\right)}^2=\frac{G^2{M}^2}{K^4}{e}^2{\sin }^2(\phi -{\phi }_0)$,
soit avec $e^2{\sin }^2(\phi -{\phi }_0)=e^2-e^2{\cos }^2(\phi -{\phi }_0)$
qui vaut d’après (2.b) $e^2-{(\frac{K^2}{GM}u-1)}^2$ :
${\left(\frac{du}{d\phi }\right)}^2=\frac{G^2{M}^2}{K^4}(e^2-{(\frac{K^2}{GM}u-1)}^2)=\frac{G^2{M}^2}{K^4}(e^2-1)-u^2+\frac{2GM}{K^2}u$.(2.w)
Par ailleurs, $v^2(r,\phi )={\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+{\left(r\frac{d\phi }{dt}\right)}^2$ donne avec $r=\frac{1}{u}$ :
$v^2(r,\phi )=\frac{1}{u^2}{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2(\frac{1}{u^2}{\left(\frac{du}{d\phi }\right)}^2+1)$ et sachant que ${\left(r^2\frac{d\phi }{dt}\right)}^2$ vaut $K^2$, il vient :
$v^2(r,\phi )=K^2({\left(\frac{du}{d\phi }\right)}^2+\frac{1}{u^2}),$
ce qui donne en remplaçant ${\left(\frac{du}{d\phi }\right)}^2$ par sa valeur (2.w) :
$v^2(r,\phi )=K^2(\frac{G^2{M}^2}{K^4}(e^2-1)+\frac{2GMu}{K^2})=\frac{G^2{M}^2}{K^2}(e^2-1)+2GMu$(2.x).
Sachant que $E_{méca}=\frac{1}{2}m{v}^2(r,\phi )-GmMu$, (2.x) permet alors d’établir :
$E_{méca}=\frac{G^{2}m{M}^2}{2K^2}(e^2-1)+GmMu-GmMu=\frac{(GmM{)}^2}{2m{K}^2}(e^2-1)$(2.y).

Photon émis depuis une source lumineuse non située à l’infini

La conservation de l’énergie mécanique permet de déterminer la vitesse théorique du photon $p$ à l’infini en considérant qu’à l’émission sa distance $r_{em}$ est $\ge R_s$ et sa vitesse est $c$ :
$\frac{1}{2}{v}_{\mathrm{\infty }}^2=\frac{1}{2}{c}^2-\frac{GM}{r_{em}}$ soit $v_{\mathrm{\infty }}=c\sqrt{1-\frac{Rs}{r_{em}}}$ ce qui donne avec (2.c) et (2.d) respectivement :
$u(\phi )=\frac{R_s}{2b^2(1-\frac{R_s}{r_{em}})}(1+e\cos (\phi -{\phi }_0))$ avec au périastre $r_{pér}=\frac{2b^2(1-\frac{R_s}{r_{em}})}{R_s(1+e)}$ et
$e=\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}{(1-\frac{R_s}{r_{em}})}^2}$.
L’axe de symétrie ${\phi }_0$ s’obtient avec la condition initiale $u({\phi }_{em})=\frac{R_s}{2b^2(1-\frac{R_s}{r_{em}})}(1+e\cos ({\phi }_{em}-{\phi }_0))=\frac{1}{r_{em}}$ soit :
${\phi }_0={\phi }_{em}+\arccos \left(\frac{\frac{2b^2(1-\frac{R_s}{r_{em}})}{r_{em}{R}_s}-1}{\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}{(1-\frac{R_s}{r_{em}})}^2}}\right)$.
Le cas très particulier d’une trajectoire circulaire de rayon $R_c$ autour de l’objet massif et parcourue à la vitesse de la lumière dans le vide s’obtient en prenant $K=c{R}_c$ (émission du photon tangentiellement au cercle de rayon $R_c$) et $e=0$ dans (2.b) et en écrivant $u=const=\frac{1}{R_c}$ soit :
$\frac{1}{R_c}=\frac{GM}{c^2{R}_c^2}$ ou : $R_c=\frac{GM}{c^2}=\frac{R_s}{2}$.
En mécanique classique, il s’agit du seul cas où les trajectoires des photons se font avec une vitesse invariante et égale à $c$.

Particule avec vitesse nulle à l’infini et $K$ non nul

Pour $v_{\mathrm{\infty }}=0$, le paramètre d’impact $b=\frac{K}{v_{\mathrm{\infty }}}$ n’est pas défini.
L’énergie mécanique $E_{méca}$ est nulle ce qui entraîne d’après (2.y) une excentricité $e=1$ soit une trajectoire parabolique.
(2.b) donne : $u(\phi )=\frac{c^2{R}_s}{2K^2}(1+\cos (\phi -{\phi }_0))$ avec au périastre $r_{pér}=\frac{2K^2}{c^2{R}_s}$.
L’axe de symétrie avec la condition initiale $u(0)=0$ s’obtient avec $\cos {\phi }_0=-1$ soit ${\phi }_0=\pi$, ce qui donne $u(\phi )=\frac{c^2{R}_s}{2K^2}(1-\cos \phi )$ et une déviation totale $2{\phi }_0-\pi =\pi$.
Si l’objet massif est une sphère de rayon $R$, la condition pour que la particule n’impacte pas l’objet massif est $R>r_{pér}$ soit $K>K_{lim}=c\sqrt{R{R}_s}$.

Équation cartésienne

$r=\frac{2K^2}{c^2{R}_s}+r\cos \phi$ soit $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{2K^2}{c^2{R}_s}+x$.
Au carré, cette égalité devient : $x^2+y^2=\frac{4K^4}{c^4{R}_s^2}+\frac{4K^2}{c^2{R}_s}x+x^2$, soit :
$x=\frac{c^2{R}_s}{4K^2}{y}^2-\frac{K^2}{c^2{R}_s}=\frac{y^2}{4r_{pér}}-r_{pér}$.

Particule émise depuis $R_s(r_{em}=R_s)$ à la vitesse $c$

$E_{méca}$ vaut $\frac{1}{2}m{c}^2-\frac{GmM}{R_s}$ qui est nul puisque par définition $R_s=\frac{2GM}{c^2}$ ce qui entraîne d’après (2.w) une excentricité $e=1$ et une trajectoire parabolique.
La vitesse du photon $p$ à l’infini $v_{\mathrm{\infty }}$ sera nulle puisque $E_{méca}=0$.
Si ${\alpha }_{em}$ est l’angle d’émission par rapport à l’axe $O_x$, les coordonnées du vecteur vitesse $c$ initial de $p$ dans le repère $O_{xy}$ sont $c_x=c\cos {\alpha }_{em}$ et $c_y=c\sin {\alpha }_{em}$ et
$K=||\overrightarrow{OP}\wedge \overrightarrow{v}||=x_{em}{c}_y-y_{em}{c}_x$ vaut
$c{R}_s(\sin {\alpha }_{em}\cos {\phi }_{em}-\cos {\alpha }_{em}\sin {\phi }_{em})$ soit $c{R}_s\sin ({\alpha }_{em}-{\phi }_{em})$.
Avec l’angle d’émission $L_{em}=\frac{\pi }{2}-({\alpha }_{em}-{\phi }_{em})$ (angle avec le plan tangent à la sphère de rayon $R_s$ au point d’émission), et $L_{em}\ne \frac{\pi }{2}$, (2.b) donne alors
$u(\phi )=\frac{1+\cos (\phi -{\phi }_0)}{2R_s{\cos }^2{L}_{em}}$ avec $r_{pér}=R_s{\cos }^2{L}_{em}$.
L’axe de symétrie ${\phi }_0$ s’obtient avec la condition initiale $u({\phi }_{em})=\frac{1+\cos ({\phi }_{em}-{\phi }_0)}{2R_s{\cos }^2{L}_{em}}=\frac{1}{R_s}$ soit
${\phi }_0={\phi }_{em}+\arccos (2{\cos }^2{L}_{em}-1)$,
et $K$ vaut $c{R}_s\cos L_{em}$.
Pour $L_{em}=0$ (émission dans le plan tangent à la sphère de rayon $R_s$), la trajectoire du photon est une demi-parabole avec $K=c{R}_s=\frac{2GM}{c}$, tangente à la sphère puisque $r_{pér}=R_s$, et qui peut être parcourue dans les deux sens (particule émise à la vitesse $c$ depuis $R_s$ ou entrante depuis l’infini à vitesse nulle).
La déviation totale est $\pi$ pour la parabole complète.
Note : le cas $L_{em}=\frac{\pi }{2}$ correspond à une trajectoire radiale ($\phi =cte={\phi }_{em}$).

Impact d’un photon entrant depuis l’infini à la vitesse $c$

En mécanique classique, lorsque le paramètre d’impact $b$ des trajectoires des photons est inférieur à $b_{lim}$, le photon $p$ impacte l’objet massif de rayon $R$, et (2.j) avec $u=\frac{1}{R}$ donne :
$\frac{R{R}_s}{2b^2}(1+e\cos ({\phi }_{impact}-{\phi }_0))=1$(2.z),
ce qui conduit, après développement en remplaçant $e$ et ${\phi }_0$ par leur valeur respective donnée par (2.g) et (2.h), à :
${\phi }_{impact1}=\arccos \left(\frac{1}{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}(1-\frac{2b^2}{R{R}_s}-\frac{4b^2}{R{R}_s^2}\sqrt{R^2+R{R}_s-b^2})\right)$,
et ${\phi }_{impact2}=\arccos \left(\frac{1}{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}(1-\frac{2b^2}{R{R}_s}+\frac{4b^2}{R{R}_s^2}\sqrt{R^2+R{R}_s-b^2})\right)$(2.aa),
avec ${\phi }_{impact}=min({\phi }_{impact1},{\phi }_{impact2}$), l’autre angle correspondant à la « sortie » de l’objet massif si $p$ pouvait le traverser.
Par ailleurs, les expressions de ${\phi }_{impact1}$ et ${\phi }_{impact2}$ en $\arcsin$ peuvent s’écrire :
${\phi }_{impact1}=\arcsin \left(\frac{2b}{R_s}\frac{1}{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}(\frac{2b^2}{R{R}_s}-1+\frac{4b^2}{R{R}_s^2}\sqrt{R^2+R{R}_s-b^2})\right)$,
et ${\phi }_{impact2}=\arcsin \left(\frac{2b}{R_s}\frac{1}{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}(\frac{2b^2}{R{R}_s}-1-\frac{4b^2}{R{R}_s^2}\sqrt{R^2+R{R}_s-b^2})\right)$(2.ab).
$L$ défini précédemment représente pour $\phi ={\phi }_{impact}$ l’angle d’impact de $p$ (angle avec le plan tangent au point d’impact à l’objet massif).
Pour $r=R$, (2.u) donne $\tan L_{{\phi }_{impact}}=\pm \frac{\sqrt{R^2+R{R}_s-b^2}}{b}=\pm \sqrt{\frac{b_{lim}^2}{b^2}-1}$(2.ac).
Dans le cas où $b=0$, ${\phi }_{impact}=0$ et $L_0=\frac{\pi }{2}$.
Dans le cas où $b=b_{lim}$, ${\phi }_{impact}$ admet une racine double obtenue en remplaçant $b_{lim}$ par sa valeur (2.n) :
${\phi }_{impact}=\arccos \left(\frac{-R_s}{R_s+2R}\right)$(2.ad), qui n’est autre que ${\phi }_0$,
et $L_{{\phi }_{impact}}=0$, ce qui signifie que $p$ tangente la surface de l’objet massif au point d’impact.

Contraction des directions angulaires

Un observateur placé à la surface de l’objet massif au point d’impact relève une direction ${\phi }_{apparent}=\frac{\pi }{2}-L_{{\phi }_{impact}}$ pour une direction réelle d’émission $\simeq {\phi }_{impact}$ (en considérant que $R\ll$ distance d’émission du photon).
Lorsque le rayon $R$ de l’objet massif vaut $R_s$, des valeurs numériques exactes peuvent être obtenues pour certaines conditions.

$b$ proche de $0$

(2.aa) entraîne : ${\phi }_{impact1}\simeq \frac{2b}{R_s}(\frac{b_{lim}}{R}-1)$
et (2.ac) entraîne : $\cot L_{{\phi }_{impact1}}\simeq \frac{b_{lim}}{b}$, soit ${\phi }_{apparent}=\frac{\pi }{2}-L_{{\phi }_{impact1}}\simeq \frac{b}{b_{lim}}$.
D’où $\frac{{\phi }_{apparent}}{{\phi }_{impact1}}\simeq \frac{Rs}{2b_{lim}}\left(\frac{1}{\frac{b_{lim}}{R}-1}\right)$,
et pour $R=R_s$ sachant que $b_{lim}=\sqrt{2}Rs$ :
$\underset{b\to 0}{lim}\frac{{\phi }_{impact1}}{{\phi }_{apparent}}=2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\simeq 1,172$
qui est le facteur de contraction des directions angulaires au voisinage de $0$, indépendant de la masse du trou noir.

${\phi }_{impact}={90}^{\circ }$

Pour $R=R_s$, (2.j) donne :
$\frac{du}{d\phi }=-\frac{Rs}{2b^2}e\cos {\phi }_0=\frac{R_s}{2b^2}$ soit $\frac{1}{u}\frac{du}{d\phi }=\frac{R_s^2}{2b^2}$ puisque $u=\frac{1}{R_s}$ à l’impact.
Par ailleurs, (2.u) donne : $\tan L_{{\phi }_{impact}}=\sqrt{\frac{2R_s^2}{b^2}-1}$ qui vaut aussi d’après le paragraphe 2.2 de l’étude $\frac{1}{u}\frac{du}{d\phi }$ soit $\frac{R_s^2}{2b^2}$ comme vu ci-dessus, d’où l’équation $\frac{R_s^4}{4b^4}-\frac{2R_s^2}{b^2}+1=0$.
Cette équation en $\frac{R_s^2}{b^2}$ admet deux racines : $4\pm 2\sqrt{3}$ d’où les deux valeurs possibles de $L_{{90}^{\circ }}=\arctan (2\mp \sqrt{3})={15}^{\circ }$ ou ${75}^{\circ }$, la 1ère valeur correspondant comme vu précédemment à l’impact et la 2ème à la « sortie » si $p$ pouvait traverser le trou noir.
D’où : $\frac{{\phi }_{impact}}{{\phi }_{apparent}}=\frac{{90}^{\circ }}{{90}^{\circ }-{15}^{\circ }}=1,2$,
qui est le facteur de contraction des directions angulaires pour ${\phi }_{impact}={90}^{\circ }$, indépendant de la masse du trou noir.

$b=b_{lim}$

${\phi }_{impact1}={\phi }_0$ et $L_{{\phi }_{impact1}}=0$ comme vu précédemment, d’où :
$\frac{{\phi }_{impact1}}{{\phi }_{apparent}}=\frac{2{\phi }_0}{\pi }$,
et pour $R=R_s$, (2.h) donne :
${\phi }_0=\arccos (-\frac{1}{3})$
d’où $\frac{{\phi }_{impact1}}{{\phi }_{apparent}}=\frac{2\arccos (-\frac{1}{3})}{\pi }\simeq 1,216$
qui est le facteur de contraction des directions angulaires au voisinage de ${\phi }_0$, indépendant de la masse du trou noir.

Contraction des diamètres apparents des étoiles

La contraction des diamètres apparents des étoiles correspond au ratio $\frac{\mathrm{\Delta }Lréel}{\mathrm{\Delta }Lapparent}$ pour une hauteur $L$ donnée.
Pour $b=b_{lim}$ et $r=R_s$, ce ratio peut se calculer avec (2.v) :
$\frac{dL}{d\phi }=-\frac{(\frac{R_s}{2R_s}+1)}{(\frac{R_s}{R_s}+1)}=-\frac{3}{4}$ d’où $\frac{\mathrm{\Delta }Lréel}{\mathrm{\Delta }Lapparent}=\frac{-d\phi }{dL}=\frac{4}{3}$.
En synthèse, le calcul analytique appliqué aux trajectoires des photons selon la mécanique classique donne les résultats suivants à l’horizon des évènements :

$Lréelle$	$Lapparente$	$Facteurdecontraction$	$\frac{\mathrm{\Delta }Lréel}{\mathrm{\Delta }Lapparent}$
${90}^{\circ }$	${90}^{\circ }$	$2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\simeq 1,172$	$2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\simeq 1,172$
${45}^{\circ }$	$51,8^{\circ }$	$\simeq 1,178$	$\simeq 1,189$
$0^{\circ }$	${15}^{\circ }$	$\arctan (2-\sqrt{3})=1,2$	$\simeq 1,261$
${90}^{\circ }-\arccos (-\frac{1}{3})\simeq 19,5^{\circ }$	$0^{\circ }$	$\frac{2\arccos (-\frac{1}{3})}{\pi }\simeq 1,216$	$\frac{4}{3}$