Cette page prolonge l’étude des géodésiques lumière et propose une analyse comparative avec les géodésiques de genre temps et espace à proximité d’un trou noir de Kerr.
Les trajectoires dépendent de trois constantes du mouvement — \(\varepsilon\), \(l_z\) et \(Q\) — dont les valeurs peuvent conduire à des quasi-captures ou des orbites.
Le potentiel effectif radial associé est utilisé pour analyser la stabilité des orbites des objets matériels, et la valeur totale de l’énergie relativiste définit les contraintes physiques pour placer des sondes ou des engins spatiaux sur des orbites stables autour d’un trou noir en rotation.
Contents
INTRODUCTION
Les équations générales des géodésiques dans l’espace-temps de Kerr, peuvent s’écrire en coordonnées de Boyer-Lindquist :
\(\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2=\frac{V_r}{\Sigma^2}\)
\(\left(\frac{d\theta}{d\lambda}\right)^2=\frac{V_\theta}{\Sigma^2}\)
\(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\left(2mar+(\Sigma-2mr)c\frac{l_z}{\varepsilon\sin^2\theta}\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma}\), et
\(\frac{dct}{d\lambda}=\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta-2mar\ c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma}\),
avec
\(V_r=\left(\left(r^2+a^2\right)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right)^2-\Delta\left(-\kappa c^2r^2+\left(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right)^2+Q\right)\) et
\(V_\theta=Q+\cos^2\theta\left(a^2\left(\kappa c^2+\frac{\varepsilon^2}{c^2}\right)-\frac{l_z^2}{\sin^2\theta}\right)\).
Le paramètre \(\kappa\) représente le genre de la géodésique :
– \(\kappa=0\) lumière,
– \(\kappa=-1\) temps (objet matériel),
– \(\kappa=1\) espace,
et le paramètre affine \(\lambda\) correspond pour un objet matériel à son temps propre \(\tau\) et pour un genre espace à sa longueur propre \(l\) divisée par \(c\).
Note : les géodésiques de genre temps maximisent localement le temps propre et les géodésiques de genre espace minimisent localement la longueur propre.
Se reporter à l’étude symétrie axiale pour la définition des termes.
COMPARAISON GRAPHIQUE DES GÉODÉSIQUES
Les figures sont tracées en coordonnées cartésiennes normalisées \(x/r_s\), \(y/r_s\) et \(z/r_s\) avec \(r_s=2m=\frac{2GM}{c^2}\), ce qui les rend indépendantes de la masse du trou noir \(M\).
Une comparaison graphique des 3 genres de géodésiques de l’espace-temps de Kerr est faite avec cette figure qui représente les trajectoires d’un objet matériel, d’un photon et d’un genre espace qui arrivent depuis « l’\(\infty\) » (c’est-à-dire depuis la région asymptotique) sur l’axe \(x\), et sont quasiment capturés par un trou noir de Kerr de paramètre \(\bar{a}= 0,95\).
\(\varepsilon\) est un des paramètres constants des géodésiques espace ou temps, et dans ce dernier cas il correspond à l’énergie totale relativiste par unité de masse soit \(\frac{c^2}{\sqrt{1-v_{\infty}^2/c^2}}\) pour un objet venant de l’\(\infty\).
La géodésique lumière apparait comme la limite entre les géodésiques de genre temps et espace pour \(\varepsilon\rightarrow 0\).
Cette figure représente les orbites « sphériques » instables autour d’un trou noir de Kerr de paramètre \(\bar{a}= 0,95\) pour les 3 trajectoires vues ci-dessus.
\(\bar{a}=0,95\) \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-1,9\) \(\varepsilon/c^2=1,000001\)©
VITESSES D’UN OBJET MATÉRIEL
À titre de comparaison avec la mécanique classique, la vitesse observable d’un objet matériel par un observateur à l’infini et suivant son temps propre \(t\) peut s’écrire :
\(v_{obs}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\)
et se calcule avec les coordonnées cartésiennes \(x\), \(y\) et \(z\) obtenues par l’intégration numérique des équations paramétriques.
En raison de la « dilatation » temporelle due au champ gravitationnel du trou noir, cette vitesse ne représente pas la vitesse réelle de l’objet matériel à proximité du trou noir.
Cette vitesse réelle physique peut se mesurer localement par un observateur avec un moment cinétique nul (Zero Angular Momentum Observer – ZAMO) et suivant son temps propre \(\tau\), et elle s’écrit :
\(v_{phys}=\sqrt{\frac{g_{rr}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+g_{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2+g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2}{\alpha^2\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2}}\)
avec \(\alpha^2=\frac{\Delta\Sigma}{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}\).
Elle se calcule avec les valeurs \(r\), \(\theta\), \(\varphi\) et \(t\) obtenues par l’intégration numérique des équations paramétriques.
La valeur \(\varepsilon/c^2=1,000001\) est par exemple celle d’un astéroïde ou d’une étoile ayant une vitesse \(v_{\infty}\simeq 400\ km/s\). La vitesse physique maximale de cet objet (voir figure de la trajectoire plus haut), pour un observateur avec moment cinétique nul (ZAMO) est \(\simeq 194\ 000\ km/s\) au plus près du trou noir, à comparer avec la vitesse maximale observée « depuis l’infini » qui est \(\simeq 146\ 000\ km/s\).
Sur l’orbite instable vue plus haut, la vitesse physique de l’astéroïde ou de l’étoile oscille entre \(\simeq 190\ 000\ km/s\) et \(\simeq 194\ 000\ km/s\).
POTENTIELS
\(V_r\) et \(V_\theta\) peuvent être considérés respectivement comme les potentiels radial et de colatitude effectifs pour les trajectoires de genre lumière ou temps.
Pour une géodésique de genre espace, il ne s’agit pas de potentiel car le paramètre affine \(\lambda\) peut varier dans un sens ou l’autre et les signes de \(V_r\) et \(V_\theta\) n’ont pas de signification causale.
En utilisant les variables sans dimension \(\bar{a}=\frac{a}{m}\) et \(\bar{r}=\frac{r}{m}\), et en développant l’expression précédente :
\(\frac{c^2}{m^4\varepsilon^2}V_r=\left(1+\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\right)\bar{r}^4-2\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\bar{r}^3+\left(\bar{a}^2\left(1+\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\right)-\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}-\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\right)\bar{r}^2+2\left(\left(\bar{a}-\frac{cl_z}{m\varepsilon}\right)^2+\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\right)\bar{r}-\bar{a}^2\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) est un polynôme du 4ème degré en \(\bar{r}\) à coefficients constants puisque \(\varepsilon\), \(l_z\) et \(Q\) sont des constantes tout au long de la géodésique.
Le tracé des potentiels effectifs radiaux des orbites précédentes met en évidence les racines doubles (annulant les potentiels et leur dérivée par rapport à \(\bar{r}\)), c’est-à-dire les valeurs des coordonnées radiales constantes des orbites.
Ici, \(\bar{r}_c\) valent respectivement \(\simeq 2,7\), \(=3\) et \(\simeq 4,4\) pour les géodésiques de genre espace, lumière et temps.
Le tracé montre que les orbites peuvent être en théorie atteintes depuis l’\(\infty\) avec \(r\) décroissant \(\left(\frac{dr}{d\lambda}<0\right)\) et qu’elles sont instables (la dérivée seconde de \(V_r\) par rapport à \(\bar{r}\) est positive).
Ici, la valeur \(l_z\) est identique pour les 3 géodésiques et les potentiels ont donc une même valeur pour \(\bar{r}=\bar{r}_{Cauchy}\) (horizon de Cauchy) ou \(\bar{r}=\bar{r}_h\) (horizon des évènements).
ORBITES STABLES DES OBJETS MATÉRIELS
Une autre illustration peut être faite en considérant maintenant pour un objet matériel les orbites stables en perturbation radiale.
Le tracé des potentiels \(V_r\) montre que ces orbites ne sont pas atteignables en chute libre depuis l’\(\infty\), les valeurs des potentiels étant négatives pour les grandes valeurs de \(r\). Un exemple est donné ci-dessous avec un paramètre de Kerr \(\bar{a}=0,95\) et la plus petite orbite polaire stable (\(\bar{r}_c\simeq 5,833\)) :
\(\bar{a}=0,95\) \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon} ≈ 12,924\) \(\varepsilon/c^2=0,938651\)©
Par ailleurs, la valeur initiale de \(\varepsilon/c^2>1\) doit descendre par freinage en-dessous de \(1\) pour qu’un objet matériel venant de l’\(\infty\) puisse se placer sur une orbite stable autour du trou noir. Dans le cas d’une sonde voire d’un vaisseau spatial, l’orbite visée doit avoir une coordonnée radiale \(r_c\) très grande pour que la valeur de l’énergie de freinage nécessaire par unité de masse \(\Delta\varepsilon=\varepsilon_{initial} (>1)-\varepsilon_{final} (<1)\) reste techniquement atteignable.
Mise sur orbite stable d’un objet matériel autour d’un trou noir
À titre d’exemple, atteindre une orbite éloignée \(\bar{r}_c\simeq 50\ 000\) d’un trou noir de Kerr de paramètre \(\bar{a}=0,95\), nécessiterait pour un objet matériel avec \(v_{\infty}\simeq 100\ km/s\) soit \(\frac{\varepsilon}{c^2}=1,000000056\) de descendre à \(\frac{\varepsilon}{c^2}=0,99999\) soit une énergie de freinage de \(1,0056\ 10^{-5}c^2/kg\) ou \(\simeq 9\ 10^{11}\ J/kg\) bien au-delà de ce qu’un système embarqué de freinage pourrait fournir avec la technologie actuelle.
Ainsi, pour qu’une sonde ou un vaisseau spatial venant de l’\(\infty\) puisse se mettre sur une orbite lointaine autour d’un trou noir, en utilisant le meilleur carburant chimique pour décélérer soit \(\Delta E_{chim}\simeq 4\ 10^{7}\ J/kg\), il faudrait donc que son énergie totale relativiste initiale par unité de masse divisée par \(c^2\) \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) soit inférieure à \(1+\frac{\Delta E_{chim}}{c^2}\simeq 1+4.45\ 10^{-10}\ J/kg\) ce qui correspond à \(v_{\infty}\simeq 9\ km/s\) seulement.
Rayon des orbites circulaires d’un objet matériel – Énergie mécanique Newtonienne et énergie totale relativiste
Le rayon \(r_c\) d’une orbite circulaire lointaine en fonction \(\frac{\varepsilon}{c^2}<1\) peut se calculer avec l’énergie mécanique Newtonienne par unité de masse de l’objet matériel \(\varepsilon_{méca}=\frac{1}{2}v^2-\frac{mc^2}{r_c}\) et \(v^2=\frac{mc^2}{r_c}\) soit \(\varepsilon_{méca}=-\frac{mc^2}{2r_c}\), ce qui permet d’écrire \(\frac{\varepsilon}{c^2}\simeq 1+\frac{\varepsilon_{méca}}{c^2}=1-\frac{m}{2r_c}=1-\frac{1}{2\bar{r}_c}\), ou encore \(\bar{r}_c\simeq\frac{1}{2\left(1-\frac{\varepsilon}{c^2}\right)}\).
A noter que cette formule ne peut s’appliquer pour les valeurs de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) sensiblement inférieures à \(1\) qui vont donner des orbites « proches » : les valeurs de \(r_c\) peuvent alors être obtenues par recherche numérique des racines doubles du potentiel \(V_r\), fonction de l’énergie toatle relativiste de l’objet matériel.
\(\kappa=-1\) \(\bar{a}=1\)©
Le graphique représente en ordonnée logarithmique la coordonnée radiale constante \(\bar{r}_c\) des orbites stables équatoriales progrades d’un objet matériel autour d’un trou noir de Kerr extrême, en fonction de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) (l’énergie totale relativiste de l’objet matériel par unité de masse, divisée par \(c^2\)).
La dernière valeur à droite est \(1/\sqrt{3}\) et correspond à \(\bar{r}_c=1\), qui est la plus petite orbite stable.
L’énergie d’un objet matériel au repos par unité de masse étant \(c^2\), l’atteinte de la plus petite orbite stable d’un trou noir de Kerr extrême vue ci-dessus provoque une libération d’énergie de \(c^2-c^2/\sqrt{3}\simeq 42\%\) de l’énergie totale au repos soit \(\simeq 3.8\ 10^{16}\ J/kg\), ce qui représente le système de production d’énergie le plus efficace connu dans l’univers, bien meilleur que le \(0,7\%\) des réactions thermonucléaires des étoiles (chaîne pp ou cycle CNO) et bien au-delà de toute technologie humaine connue.