GRAVITATION

Cette page prolonge l’étude des géodésiques de genre lumière et propose une analyse comparative des géodésiques de genre temps et espace à proximité d’un trou noir de Kerr. Les trajectoires dans l’espace-temps de Kerr dépendent de trois constantes du mouvement — \(\varepsilon\), \(l_z\) et \(Q\) — dont les valeurs déterminent les régimes possibles : quasi-capture, orbites liées ou trajectoires non bornées.
Les vitesses relativistes atteintes par les objets matériels sur des orbites excentriques proches du trou noir sont analysées, et la stabilité des orbites circulaires est étudiée à l’aide du potentiel effectif radial.
Enfin, la valeur de l’énergie relativiste totale permet de préciser les contraintes physiques nécessaires pour placer des sondes ou engins spatiaux sur des orbites stables autour d’un trou noir en rotation.

INTRODUCTION

Les équations générales des géodésiques dans l’espace-temps de Kerr, peuvent s’écrire en coordonnées de Boyer-Lindquist :
\(\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2=\frac{V_r}{\Sigma^2}\)
\(\left(\frac{d\theta}{d\lambda}\right)^2=\frac{V_\theta}{\Sigma^2}\)
\(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\left(2mar+(\Sigma-2mr)c\frac{l_z}{\varepsilon\sin^2\theta}\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma}\), et
\(\frac{dct}{d\lambda}=\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta-2mar\ c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma}\),
avec
\(V_r=\left(\left(r^2+a^2\right)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right)^2-\Delta\left(-\kappa c^2r^2+\left(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right)^2+Q\right)\) et
\(V_\theta=Q+\cos^2\theta\left(a^2\left(\kappa c^2+\frac{\varepsilon^2}{c^2}\right)-\frac{l_z^2}{\sin^2\theta}\right)\).
Le paramètre \(\kappa\) représente le genre de la géodésique :
– \(\kappa=0\) lumière,
– \(\kappa=-1\) temps (objet matériel),
– \(\kappa=1\) espace,
et le paramètre affine \(\lambda\) correspond pour un objet matériel à son temps propre \(\tau\) et pour un genre espace à sa longueur propre \(l\) divisée par \(c\).
Note : les géodésiques de genre temps maximisent localement le temps propre et les géodésiques de genre espace minimisent localement la longueur propre.
Se reporter à l’étude symétrie axiale pour la définition des termes.

COMPARAISON GRAPHIQUE DES GÉODÉSIQUES

Les figures sont tracées en coordonnées cartésiennes normalisées \(x/r_s\), \(y/r_s\) et \(z/r_s\) avec \(r_s=2m=\frac{2GM}{c^2}\), ce qui les rend indépendantes de la masse du trou noir \(M\).

VITESSES D’UN OBJET MATÉRIEL

Vitesse pour un observateur à l’\(\infty\)

À titre de comparaison avec la mécanique classique, la vitesse observable d’un objet matériel par un observateur dans la région asymptotique et suivant son temps propre \(t\) peut s’écrire :
\(v_{obs}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\)
et se calcule avec les coordonnées cartésiennes \(x\), \(y\) et \(z\) obtenues par l’intégration numérique des équations paramétriques.
En raison de la « dilatation » temporelle due au champ gravitationnel du trou noir, cette vitesse ne représente pas la vitesse réelle de l’objet matériel.

Vitesse physique réelle

La vitesse réelle physique d’un objet matériel suivant son temps propre \(\tau\) peut se mesurer localement par un observateur avec un moment cinétique nul (Zero Angular Momentum Observer – ZAMO), et elle s’écrit :
\(v_{phys}=\sqrt{\frac{g_{rr}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+g_{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2+g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2}{\alpha^2\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2}}\)
avec \(\alpha^2=\frac{\Delta\Sigma}{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}\) (\(\alpha\) est la fonction « lapse » ou le facteur de dilatation gravitationnelle locale soit \(\frac{d\tau_{ZAMO}}{dt}\)).
\(v_{phys}\) se calcule avec les valeurs \(r\), \(\theta\), \(\varphi\) et \(t\) obtenues par l’intégration numérique des équations paramétriques.
Il est à noter que ces vitesses sont indépendantes de la masse du trou noir.

Note : dans le cas d’un trou noir stellaire, la force de marée très importante en raison de la faible valeur de \(r_{périastre}\) est telle que l’astéroïde ou l’étoile seront détruits bien avant d’atteindre le périastre. En revanche, ces orbites sont applicables à un trou noir supermassif.

POTENTIELS

\(V_r\) et \(V_\theta\) peuvent être considérés respectivement comme les potentiels radial et de colatitude effectifs pour les trajectoires de genre lumière ou temps.
Pour une géodésique de genre espace, il ne s’agit pas de potentiel car le paramètre affine \(\lambda\) peut varier dans un sens ou l’autre et les signes de \(V_r\) et \(V_\theta\) n’ont pas de signification causale.
En utilisant les variables sans dimension \(\bar{a}=\frac{a}{m}\) et \(\bar{r}=\frac{r}{m}\), et en développant l’expression précédente :
\(\frac{c^2}{m^4\varepsilon^2}V_r=\left(1+\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\right)\bar{r}^4-2\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\bar{r}^3+\left(\bar{a}^2\left(1+\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\right)-\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}-\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\right)\bar{r}^2+2\left(\left(\bar{a}-\frac{cl_z}{m\varepsilon}\right)^2+\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\right)\bar{r}-\bar{a}^2\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) est un polynôme du 4ème degré en \(\bar{r}\) à coefficients constants puisque \(\varepsilon\), \(l_z\) et \(Q\) sont des constantes tout au long de la géodésique.

PLUS PETITES ORBITES CIRCULAIRES STABLES

Cas particulier d’un trou noir de Schwarzschild

La plus petite orbite circulaire stable autour d’un trou noir de Schwarzschild est l’orbite limite de stabilité et correspond à la racine triple du potentiel effectif radial \(V_r\) avec \(\bar{a}=0\) et \(\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}+\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}=\frac{c^2l^2}{m\varepsilon^2}\).

Calcul de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) et \(\frac{cl}{m\varepsilon}\)

1) L’annulation de \(V_r\) peut s’écrire :
\(\left(1+\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\right)\bar{r}^4=2\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\bar{r}^3+\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}\bar{r}^2-2\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}\bar{r}\) ou bien avec la condition \(\bar{r}\ne 0\)
\(1= \left(1-\frac{2}{\bar{r}}\right)\left(-\kappa\frac{c^4}{\varepsilon^2}+\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}\frac{1}{\bar{r}^2}\right)\).

À partir de cette équation, le calcul peut se faire avec \(\varepsilon^2\) ou \(\frac{c^2l^2}{m^2}\).

2) L’annulation de \(\frac{dV_r}{dr}\) peut s’écrire \(2(\varepsilon^2+\kappa c^4)\bar{r}^3-3\kappa c^4\bar{r}^2+\frac{c^2l^2}{m^2}(1-\bar{r})=0\).

3) Enfin, l’annulation de \(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) peut s’écrire \(12(\varepsilon^2+\kappa c^4)\bar{r}^2-12\kappa c^4\bar{r}-2\frac{c^2l^2}{m^2}=0\).

Calcul de \(r_{ISCO}\) – Innermost Stable Circular Orbit

Le calcul de la plus petite orbite circulaire stable peut se faire en remplaçant dans l’équation ci-dessus \(\varepsilon^2\) et \(\frac{c^2l^2}{m^2}\) par leurs valeurs fonction de \(r\), ce qui donne après regroupement :
\(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) pour les orbites circulaires \(=2\kappa c^4\frac{\bar{r}(\bar{r}-6)}{\bar{r}-3}\) qui vaut \(0\) pour
\(\bar{r}=6\Rightarrow\bar{r}_{ISCO}=6\) ou \(r_{ISCO}=6m= 3Rs\).

Pour un objet matériel (\(\kappa=-1\)), l’équation ci-dessus montre que \(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) est \(<0\) pour \(\bar{r}>6\) ce qui signifie que les orbites circulaires de coordonnée radiale constante \(\bar{r}_c>6\) sont stables.
Enfin, en remplaçant \(\bar{r}\) par la valeur \(6\) dans les expressions de \(\varepsilon^2\) et \(\frac{c^2l^2}{m^2}\) vues plus haut, nous avons
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\simeq 0,943\) et \(\frac{cl}{m}=2\sqrt{3}c^2\) soit \(\frac{cl}{m\varepsilon}=\sqrt{\frac{27}{2}}\simeq 3,674\).

Cas des géodésiques de genre espace

Les équations vues plus haut deviennent avec \(\kappa=1\) :
\(\varepsilon^2=c^4\frac{(\bar{r}-2)^2}{\bar{r}(3-\bar{r})}\) et \(\frac{c^2l^2}{m^2}=c^4\frac{\bar{r}^2}{3-\bar{r}}\)
ce qui entraîne \(0<\bar{r}<3\) pour les orbites circulaires (\(V_r=0\) et \(\frac{dV_r}{dr}=0\)).
Par ailleurs, l’annulation de \(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) ne dépend pas du signe de \(\kappa\) comme le montre l’équation \(2\kappa c^4\frac{\bar{r}(\bar{r}-6)}{\bar{r}-3}=0\) et donne la même solution que pour une géodésique de genre temps : \(\bar{r}=6\).
Cette valeur est incompatible avec la condition \(\bar{r}<3\) ce qui montre qu’il n’existe pas d’orbite stable pour les géodésiques de genre espace autour d’un trou noir de Schwarzschild.

Cas général \(\bar{a}\ne 0\)

Calcul des \(r_{ISCOs}\)

Pour un objet matériel autour d’un trou noir de Kerr, il existe dans le plan équatorial une plus petite orbite circulaire stable prograde et une plus petite orbite circulaire stable rétrograde qui sont données par les formules :
\(\bar{r}_{ISCO\ prograde}=3+z2-\sqrt{(3-z1)(3+z1+2z2)}\) et
\(\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}=3+z2+\sqrt{(3-z1)(3+z1+2z2)}\)
avec \(z1=1+(1-\bar{a}^2)^{1/3}((1+\bar{a})^{1/3}+(1-\bar{a})^{1/3})\) et \(z2=\sqrt{3\bar{a}^2+z1^2}\).
Pour un trou noir de Kerr extrême, ces formules donnent \(\bar{r}_{ISCO\ prograde}=1\) ou \(r_{ISCO\ prograde}=m\) et \(\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}=9\) ou \(r_{ISCO\ rétrograde}=9m\).

Calcul de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\)

Les valeurs associées de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) et de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) peuvent se calculer directement avec les valeurs de \(\bar{r}_{ISCO}\), suivant les formules standard des orbites circulaires équatoriales dans l’espace-temps de Kerr :
– orbite prograde :
-> si \(|\bar{a}|\ne 1\Rightarrow\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{3/2}-2{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{1/2}+|\bar{a}|}{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{3/4}\ \sqrt{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{3/2}-3{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{1/2}+2|\bar{a}|}}\)
et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\frac{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{2}-2|\bar{a}|{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{1/2}+\bar{a}^2}{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{3/2}-2{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{1/2}+|\bar{a}|}\),
-> si \(|\bar{a}|=1\Rightarrow\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\simeq 0,577\) et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=2\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\).
– orbite rétrograde :
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{3/2}-2{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{1/2}-|\bar{a}|}{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{3/4}\ \sqrt{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{3/2}-3{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{1/2}-2|\bar{a}|}}\)
et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\frac{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{2}+2|\bar{a}|{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{1/2}+\bar{a}^2}{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{3/2}-2{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{1/2}-|\bar{a}|}\),
ce qui donne si \(|\bar{a}|=1\Rightarrow\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{5}{3\sqrt{3}}\simeq 0,962\) et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-4,4\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\).

Enfin, il n’existe pas d’ISCO pour les géodésiques de genre lumière ou espace.

ORBITES STABLES DES OBJETS MATÉRIELS

Orbites excentriques

Cas général

Lorsque le potentiel effectif radial \(V_r\) est positif entre 2 racines réelles simples avec \(\frac{\varepsilon}{c^2}<1\), ces 2 racines correspondent au périastre et à l’apoastre d’une orbite stable de l’objet matériel.
Un exemple est donné ci-dessous avec la rosace d’une orbite équatoriale comprise entre \(\bar{r}_{périastre}\simeq 6\) et \(\bar{r}_{apoastre}\simeq 193\) qui sont 2 racines simples du potentiel \(V_r\) qui est positif entre ces 2 valeurs.
Note : le sens de rotation du trou noir de Kerr est précisé sur les figures des orbites ci-dessous.

L’exemple ci-dessous est celui d’une orbite polaire qui évolue entre \(\bar{r}_{périastre}=6\) et \(\bar{r}_{apoastre}\simeq 192\).
Sur la vue 3d, la trajectoire paraît « désordonnée », cependant la verticalité (inclinaison \(i=90^\circ\)) des trajectoires pour les grandes valeurs de \(r\) est particulièrement visible sur la vue de dessus.

Les figures animées suivantes mettent en évidence les précessions progrades de l’orbite équatoriale prograde et de l’orbite polaire.

Orbites « zoom-whirl »

Si \(r_{périastre}\) est proche de \(r_{ISCO}\), l’objet matériel parcourt une orbite excentrique avec un ou plusieurs tours autour du trou noir à proximité du périastre (orbite « zoom-whirl »).
Les figures animées sont ici celles d’orbites équatoriales rétrogrades avec des valeurs \(\bar{r}_{périastre}\) proches de \(\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}\).
La 1ère figure montre une orbite avec une précession prograde et la 2ème une orbite avec une précession rétrograde, rendue possible en raison de la grande valeur de son périastre.

Orbites fermées périodiques

Les orbites peuvent être fermées dans l’espace et périodiques (« résonantes 3D ») : l’objet matériel repasse exactement sur la trajectoire qu’il a déjà parcourue.
Il existe dans ce cas une relation entre les vitesses de rotation suivant chaque axe telle que
\(\frac{\Omega_r}{n_r}=\frac{\Omega_\theta}{n_\theta}=\frac{\Omega_\varphi}{n_\varphi}\) avec \(n_r\), \(n_\theta\) et \(n_\varphi\) \(\in\mathbb{Z}\).
La 1ère figure animée est celle d’une orbite équatoriale prograde de facteur 4 de résonance avec une précession prograde, et la 2ème figure animée représente une orbite équatoriale rétrograde « zoom-whirl » de facteur 2 de résonance avec une précession rétrograde.

Vitesses extrémales, périodes et distances parcourues

Les vitesses extrémales s’obtiennent au périastre et à l’apoastre et peuvent se calculer suivant les formules vues plus haut.
Les périodes suivant le temps propre des objets matériels et les longueurs d’arc (abscisse curviligne) parcourues sur leurs orbites, entre 2 périastres successifs ou entre 2 apoastres successifs, peuvent s’obtenir numériquement à partir des valeurs \(\tau,r,x,y,z\) calculées par intégration des 4 équations paramétriques.
A titre d’information, la table ci-dessous donne les valeurs extrémales arrondies des vitesses parmi les orbites excentriques vues dans ce paragraphe.
Les périodes et distances parcourues ont été calculées pour un hypothétique trou noir de la masse du soleil, et l’importance de la force de marée au périastre implique que seuls des objets matériels d’une taille inférieure à quelques centimètres pourraient suivre ces orbites.

Orbite	vobs max (km/s)	vphys min (km/s)	vobs max (km/s)	vphys max (km/s)	Période (s)	Distance parcourue (km)
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=0,999\ \ \) zoom-whirl	\(1\ 481\ \ \ \ \)	\(1\ 483\ \)			\(0,343\)	\(3\ 190\)
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=0,995\ \ \) prograde			\(145\ 000\)	\(177\ 000\)
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=0,991\ \ \) résonante					\(0,0129\)	\(414\)

Orbites à coordonnée radiale \(r\) constante

Une autre illustration peut être faite en considérant maintenant pour un objet matériel les orbites sphériques stables en perturbation radiale (\(r_c\) constant).
Le tracé des potentiels \(V_r\) montre que ces orbites ne sont pas atteignables en chute libre depuis l’\(\infty\), les valeurs des potentiels étant négatives pour les grandes valeurs de \(r\). Un exemple est donné ci-dessous avec un paramètre de Kerr \(\bar{a}=0,95\) et la plus petite orbite polaire stable (\(\bar{r}_c\simeq 5,833\)) :

Par ailleurs, la valeur initiale de \(\varepsilon/c^2>1\) doit descendre par freinage en-dessous de \(1\) pour qu’un objet matériel venant de l’\(\infty\) puisse se placer sur une orbite stable autour du trou noir. Dans le cas d’une sonde voire d’un vaisseau spatial, l’orbite visée doit avoir une coordonnée radiale \(r_c\) très grande pour que la valeur de l’énergie de freinage nécessaire par unité de masse \(\Delta\varepsilon=\varepsilon_{initial} (>1)-\varepsilon_{final} (<1)\) reste techniquement atteignable.

Mise sur orbite stable à rayon constant d’un objet matériel autour d’un trou noir

À titre d’exemple, atteindre une orbite éloignée \(\bar{r}_c\simeq 50\ 000\) d’un trou noir de Kerr de paramètre \(\bar{a}=0,95\), nécessiterait pour un objet matériel avec \(v_{\infty}\simeq 100\ km/s\) soit \(\frac{\varepsilon}{c^2}=1,000000056\) de descendre à \(\frac{\varepsilon}{c^2}=0,99999\) soit une énergie de freinage de \(1,0056\ 10^{-5}c^2/kg\) ou \(\simeq 9\ 10^{11}\ J/kg\) bien au-delà de ce qu’un système embarqué de freinage pourrait fournir avec la technologie actuelle.
Ainsi, pour qu’une sonde ou un vaisseau spatial venant de l’\(\infty\) puisse se mettre sur une orbite lointaine autour d’un trou noir, en utilisant le meilleur carburant chimique pour décélérer soit \(\Delta E_{chim}\simeq 4\ 10^{7}\ J/kg\), il faudrait donc que \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) (son énergie totale relativiste initiale par unité de masse divisée par \(c^2\)) soit inférieure à \(1+\frac{\Delta E_{chim}}{c^2}\simeq 1+4.45\ 10^{-10}\ J/kg\) ce qui correspond à \(v_{\infty}\simeq 9\ km/s\) seulement.

Rayon des orbites circulaires d’un objet matériel – Énergie mécanique Newtonienne et énergie totale relativiste

Le rayon \(r_c\) d’une orbite circulaire lointaine en fonction \(\frac{\varepsilon}{c^2}<1\) peut se calculer avec l’énergie mécanique Newtonienne par unité de masse de l’objet matériel \(\varepsilon_{méca}=\frac{1}{2}v^2-\frac{mc^2}{r_c}\) et \(v^2=\frac{mc^2}{r_c}\) soit \(\varepsilon_{méca}=-\frac{mc^2}{2r_c}\), ce qui permet d’écrire \(\frac{\varepsilon}{c^2}\simeq 1+\frac{\varepsilon_{méca}}{c^2}=1-\frac{m}{2r_c}=1-\frac{1}{2\bar{r}_c}\), ou encore \(\bar{r}_c\simeq\frac{1}{2\left(1-\frac{\varepsilon}{c^2}\right)}\).
A noter que cette formule ne peut s’appliquer pour les valeurs de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) sensiblement inférieures à \(1\) qui vont donner des orbites « proches » : les valeurs de \(r_c\) peuvent alors être obtenues par recherche numérique des racines doubles du potentiel \(V_r\), fonction de l’énergie totale relativiste de l’objet matériel.

Ainsi, l’énergie d’un objet matériel au repos par unité de masse étant \(c^2\), l’atteinte de la plus petite orbite stable autour d’un trou noir de Kerr extrême libère une énergie de \(c^2-c^2/\sqrt{3}\simeq 42\%\) de l’énergie totale au repos soit \(\simeq 3.8\ 10^{16}\ J/kg\), ce qui représente le système de production d’énergie le plus efficace connu dans l’univers, bien meilleur que le \(0,7\%\) des réactions thermonucléaires des étoiles (chaîne pp ou cycle CNO) et bien au-delà de toute technologie humaine connue.