GRAVITATION

Cette page prolonge l’étude des géodésiques de genre lumière et propose une analyse comparative des géodésiques de genre temps ou espace à proximité d’un trou noir de Kerr, sans rétroaction des particules ou des objets sur l’espace-temps de Kerr.
Les trajectoires dépendent de trois constantes du mouvement — \(\varepsilon\), \(l_z\) et \(Q\) — dont les valeurs déterminent les régimes possibles : absorption, orbites liées ou trajectoires non bornées.
Le facteur de Lorentz permet le calcul de la vitesse d’un objet matériel ou d’un point d’une géodésique espace en dehors de la région inter-horizons.
Les vitesses relativistes atteintes par les objets matériels sur des orbites excentriques proches du trou noir sont analysées, et la stabilité des orbites circulaires est étudiée à l’aide du potentiel effectif radial.
Enfin, la valeur de l’énergie spécifique relativiste permet de préciser les contraintes physiques nécessaires pour placer des sondes ou engins spatiaux sur des orbites stables autour d’un trou noir en rotation.

INTRODUCTION

Les équations générales des géodésiques dans l’espace-temps de Kerr, peuvent s’écrire en coordonnées de Boyer-Lindquist :
\(\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2=\frac{V_r}{\Sigma^2}\)
\(\left(\frac{d\theta}{d\lambda}\right)^2=\frac{V_\theta}{\Sigma^2}\)
\(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\left(2mar+(\Sigma-2mr)c\frac{l_z}{\varepsilon\sin^2\theta}\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma},\) et
\(\frac{dct}{d\lambda}=\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta-2mar\ c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma},\)
avec
\(V_r=\left(\left(r^2+a^2\right)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right)^2-\Delta\left(-\kappa c^2r^2+\left(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right)^2+Q\right)\) et
\(V_\theta=Q+\cos^2\theta\left(a^2\left(\kappa c^2+\frac{\varepsilon^2}{c^2}\right)-\frac{l_z^2}{\sin^2\theta}\right).\)
Le paramètre \(\kappa\) représente le genre de la géodésique :
– \(\kappa=0\) lumière,
– \(\kappa=-1\) temps (objet matériel),
– \(\kappa=1\) espace,
et le paramètre affine \(\lambda\) correspond pour un objet matériel à son temps propre \(\tau\) et pour un genre espace à sa longueur propre \(l\) divisée par \(c\).
Note : les géodésiques de genre temps maximisent localement le temps propre et les géodésiques de genre espace minimisent localement la longueur propre.
Se reporter à l’étude symétrie axiale pour la définition des termes.

COMPARAISON GRAPHIQUE DES GÉODÉSIQUES

Les figures sont tracées en coordonnées cartésiennes normalisées \(x/r_s\), \(y/r_s\) et \(z/r_s\) avec \(r_s=2m=\frac{2GM}{c^2}\), ce qui les rend indépendantes de la masse du trou noir \(M\).

POTENTIELS

\(V_r\) et \(V_\theta\) peuvent être considérés respectivement comme les potentiels radial et polaire effectifs pour les trajectoires de genre lumière ou temps.
Pour une géodésique de genre espace, il ne s’agit pas véritablement de potentiels car le paramètre affine \(\lambda\) peut varier dans un sens ou l’autre et les signes de \(V_r\) et \(V_\theta\) n’ont pas de signification causale.

Potentiel effectif radial

Le potentiel effectif radial \(V_r\) régit le mouvement radial.
En utilisant les variables sans dimension \(\bar{a}=\frac{a}{m}\) et \(\bar{r}=\frac{r}{m}\), et en développant l’expression précédente :
\(\frac{c^2}{m^4\varepsilon^2}V_r=\left(1+\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\right)\bar{r}^4-2\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\bar{r}^3+\left(\bar{a}^2\left(1+\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\right)-\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}-\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\right)\bar{r}^2+2\left(\left(\bar{a}-\frac{cl_z}{m\varepsilon}\right)^2+\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\right)\bar{r}-\bar{a}^2\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) est un polynôme du 4ème degré en \(\bar{r}\) à coefficients constants puisque \(\varepsilon\), \(l_z\) et \(Q\) sont des constantes tout au long de la géodésique.

Exemple de courbes de potentiels \(V_r\)

Potentiel effectif polaire

Le potentiel effectif polaire \(V_\theta\) régit le mouvement en colatitude :
\(V_\theta=Q+\cos^2\theta\left(a^2\left(\kappa c^2+\frac{\varepsilon^2}{c^2}\right)-\frac{l_z^2}{\sin^2\theta}\right).\)
Aux pôles, \(\sin^2\theta=0\) et le mouvement n’est pas défini.
Il s’agit d’une singularité de coordonnées qui peut être résolue par le changement de variable \(\mu=\cos\theta\in[-1,1]\) ce qui donne :
\(V_\mu=(1-\mu^2)Q+(1-\mu^2)\mu^2a^2\left(\kappa c^2+\frac{\varepsilon^2}{c^2}\right)-\mu^2l_z^2\) avec \(V_\mu=\Sigma^2\left(\frac{d\mu}{d\lambda}\right)^2\)
soit l’équation paramétrique régulière sur \([-1,1]\) :
\(\left(\frac{d\mu}{d\lambda}\right)^2=\left((1-\mu^2)c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}+(1-\mu^2)\mu^2a^2\left(1+\kappa\frac{c^4}{\varepsilon^2}\right)-\mu^2c^2\frac{l_z^2}{\varepsilon^2}\right)\frac{\varepsilon^2}{c^2\Sigma^2}\) qui est définie pour \(\sin^2\theta=0\) (\(\mu=\pm 1\)) et qui permet après intégration de calculer \(\theta=\arccos\mu\).

Cas général

Mises à part les orbites qui sont étudiées dans la suite de cette page, les géodésiques de genre lumière, temps ou espace peuvent suivant les valeurs des constantes :

• être non bornées (le point de répulsivité est une racine positive simple du potentiel \(V_r\) supérieure à \(r_h\) (horizon des évènements),
• se « terminer dans le trou noir » avec 3 cas possibles :
  • entrer en collision avec le corps physique du trou noir (géodésique lumière ou temps),
  • sortir de notre univers (le point de répulsivité est une racine positive simple du potentiel \(V_r\) inférieure à \(r_{Cauchy}\) (horizon de Cauchy),
  • atteindre le disque central bordé par la singularité annulaire et entrer dans l’espace négatif (pas de racine positive du potentiel \(V_r\)).

Un exemple de géodésique de genre temps est donné ci-dessous, avec la trajectoire vue par un observateur statique à l’infini, et celle réellement suivie par l’objet matériel qui rejoint ici la singularité annulaire.

Cas particulier interne horizon de Cauchy

Un cas particulier intéressant est celui d’un objet matériel qui décrit une trajectoire « confinée » entre l’ergosphère interne et l’horizon de Cauchy : il reste « prisonnier » dans cette région, avec une coordonnée radiale évoluant entre 2 valeurs \(r_{min}\) et \(r_{max}\).
Il s’agit d’une géodésique oscillante qui est en fait du même type que les orbites excentriques (voir paragraphe ci-dessous).
Les constantes du mouvement \(\varepsilon\), \(l_z\) et \(Q\) sont telles que le potentiel effectif radial \(V_r\) admet 4 racines réelles, les 2 plus petites étant inférieures à \(r_{Cauchy}\). Le cas limite se réduit à une orbite circulaire stable lorsque ces 2 racines sont doubles.
Dans l’exemple ci-dessous, \(\bar{r}_{min}=0,2\) et \(\bar{r}_{max}\simeq 0,286\) avec \(\bar{r}_{Cauchy}\simeq 0,688\) pour un paramètre de Kerr \(\bar{a}=0,95\).
Sur la vue 3d, l’horizon de Cauchy est en gris clair et l’ergosphère interne en gris foncé, l’ergosphère externe et l’horizon des évènements n’étant pas représentés. La trajectoire est prograde (même sens de rotation que celui du trou noir de Kerr indiqué sur l’axe z).

Note : pour qu’un objet matériel venant de l’\(\infty\) suive une telle trajectoire, il est nécessaire tout d’abord que cette trajectoire ne rencontre pas le corps physique constituant le trou noir et aussi que l’énergie du corps matériel par unité de masse \(\varepsilon\) divisée par \(c^2\) diminue jusqu’à la valeur de cet exemple soit \(0,999\), ce qui nécessite un très fort freinage, par exemple par collision avec un autre objet.

VITESSES

Vitesse pour un observateur à l’\(\infty\)

À titre de comparaison avec la mécanique classique, les composantes radiale, polaire et azimutale de la vitesse observable d’un objet matériel, d’un photon ou d’un point d’une géodésique espace, par un observateur situé dans la région asymptotique et suivant son temps propre \(t\) s’écrivent en coordonnées de Boyer-Lindquist :
\(v_{obs\ r}=\sqrt{g_{rr}}\frac{dr}{dt}\), \(v_{obs\ \theta}=\sqrt{g_{\theta\theta}}\frac{d\theta}{dt}\) and \(v_{obs\ \varphi}=\sqrt{g_{\varphi\varphi}}\frac{d\phi}{dt}\)
ce qui donne une vitesse \(v_{obs}=\sqrt{v_{obs\ r}^2+v_{obs\ \theta}^2+v_{obs\ \varphi}^2}\).
En raison de la « dilatation » temporelle due au champ gravitationnel du trou noir, cette vitesse ne représente pas une vitesse réelle.
Une vitesse réelle peut être mesurée localement par un observateur avec un moment cinétique nul (Zero Angular Momentum Observer – ZAMO).

Vitesse physique

Les composantes radiale, polaire et azimutale de la vitesse physique réelle d’un objet matériel sur une géodésique de genre temps mesurée par un ZAMO peuvent s’écrire quand \(\Delta>0\) :
\(v_{phys\ r}=\frac{\sqrt{g_{rr}}}{\gamma}\frac{dr}{d\tau}\), \(v_{phys\ \theta}=\frac{\sqrt{g_{\theta\theta}}}{\gamma}\frac{d\theta}{d\tau}\) et \(v_{phys\ \varphi}=\frac{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}{\gamma}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{d\tau}\right)\),
avec \(\gamma\) facteur de Lorentz (voir calcul ci-dessous),
et se calculent avec les valeurs \(r\), \(\theta\), \(\varphi\) et \(t\) obtenues par l’intégration numérique des équations paramétriques.
La norme de la vitesse physique s’écrit simplement :
\(v_{phys}=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}\), inférieure à \(c\).

Note : dans le cas d’un trou noir stellaire, la force de marée très importante en raison de la faible valeur de \(r_{pér}\) est telle que l’astéroïde ou l’étoile seront détruits bien avant d’atteindre le périastre. En revanche, ces orbites sont applicables à un trou noir supermassif.

Vitesse d’un photon

Les composantes radiale, polaire et azimutale de la vitesse d’un photon sur une géodésique lumière mesurée par un ZAMO peuvent s’écrire quand \(\Delta>0\) :
\(v_{photon\ r}=\frac{\sqrt{g_{rr}}}{\alpha}\frac{dr}{dt}\), \(v_{photon\ \theta}=\frac{\sqrt{g_{\theta\theta}}}{\alpha}\frac{d\theta}{dt}\) et \(v_{photon\ \varphi}=\frac{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}{\alpha}\left(\frac{d\varphi}{dt}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\right)\),
avec \(\alpha=\frac{d\tau_{ZAMO}}{dt}\), facteur d’expansion gravitationelle locale (voir calcul ci-dessous),
et se calculent avec les valeurs \(r\), \(\theta\), \(\varphi\) et \(t\) obtenues par l’intégration numérique des équations paramétriques.
La norme de la vitesse d’un photon vaut \(c\).

Vitesse de genre espace

Les composantes radiale, polaire et azimutale de la vitesse d’un point d’une géodésique de genre espace mesurée par un ZAMO peuvent s’écrire quand \(\Delta>0\) :
\(v_{espace\ r}=c\frac{\sqrt{g_{rr}}}{\Gamma}\frac{dr}{dl}\), \(v_{espace\ \theta}=c\frac{\sqrt{g_{\theta\theta}}}{\Gamma}\frac{d\theta}{dl}\) et \(v_{espace\ \varphi}=c\frac{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}{\Gamma}\left(\frac{d\varphi}{dl}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{dl}\right)\),
avec \(\Gamma\) équivalent du facteur de Lorentz (voir calcul en fin de paragraphe),
et se calculent avec les valeurs \(r\), \(\theta\), \(\varphi\) et \(t\) obtenues par l’intégration numérique des équations paramétriques.
La norme de la vitesse espace s’écrit simplement :
\(v_{espace}=c\sqrt{1+\frac{1}{\Gamma^2}}\), supérieure à \(c\).

Facteur de Lorentz

Le facteur de Lorentz est défini localement comme l’opposé du produit scalaire des quadrivitesses de 2 objets divisé par \(c^2\), soit \(\gamma=-g_{\mu\nu}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^{\mu}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^{\nu}/c^2\).

Calcul de la quadrivitesse d’un ZAMO et du facteur d’expansion gravitationnelle

Le ZAMO a par définition un moment angulaire nul \(g_{0\varphi}c\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}+ g_{\varphi\varphi}\frac{d\varphi}{d\tau_{ZAMO}}=0\)
ce qui donne \(\frac{d\varphi}{dt}=-c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\).
Par ailleurs la normalisation de sa quadrivitesse donne avec \(r\) et \(\theta\) constants : \(g_{00}c^2\left(\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\right)^2+2g_{0\varphi}c\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\frac{d\varphi}{d\tau_{ZAMO}}+g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau_{ZAMO}}\right)^2=-c^2.\)
En écrivant \(\frac{d\varphi}{d\tau_{ZAMO}}=\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\) il vient \(g_{00}c^2\left(\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\right)^2+2g_{0\varphi}c\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}+g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\right)^2=-c^2\)
ce qui donne en remplaçant \(\frac{d\varphi}{dt}\) par sa valeur \(g_{00}c^2\left(\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\right)^2-2c^2\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}\left(\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\right)^2+c^2\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}\left(\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\right)^2=-c^2\)
soit \(\left(\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\right)^2\left(g_{00}-\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}\right)=-1\) ou \(\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}=\frac{1}{\alpha}\)
avec \(\alpha=\sqrt{\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}-g_{00}}=\frac{d\tau_{ZAMO}}{dt}\), fonction « lapse » ou facteur d’expansion gravitationnelle locale.
Note : après développement des coefficients du tenseur métrique \(g_{00}\), \(g_{0\varphi}\) et \(g_{\varphi\varphi}\) et regroupement des termes nous avons aussi :
\(\alpha^2=\frac{\Delta\Sigma}{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta}\).
La quadrivitesse du ZAMO est alors définie : \(\left(\frac{1}{\alpha},0,0,-\frac{c}{\alpha}\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\right)\).

Calcul du facteur de Lorentz pour les géodésiques de genre temps ou espace

Géodésiques de genre temps
Avec la quadrivitesse de l’objet matériel (\(\frac{dt}{d\tau},\frac{dr}{d\tau},\frac{d\theta}{d\tau},\frac{d\varphi}{d\tau}\)), le produit scalaire des 2 quadrivitesses s’écrit : \(g_{00}\frac{c^2}{\alpha}\frac{dt}{d\tau}-g_{0\varphi}\frac{c^2}{\alpha}\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{d\tau}+g_{0\varphi}\frac{c}{\alpha}\frac{d\varphi}{d\tau}-g_{\varphi\varphi}\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{c}{\alpha}\frac{d\varphi}{d\tau},\) c’est-à-dire \(\frac{c^2}{\alpha}\left(g_{00}-\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}\right)\frac{dt}{d\tau}=-\frac{c^2}{\alpha}\alpha^2\frac{dt}{d\tau}=-c^2\alpha\frac{dt}{d\tau},\) ce qui donne finalement \(\gamma=\alpha\frac{dt}{d\tau}=\frac{d\tau_{ZAMO}}{d\tau}\).
Note : \(\gamma\) peut être négatif puisque son signe est celui de l’intervalle de temps \(dt\), qui peut être négatif sur certaines parties de géodésiques de genre temps en fonction des constantes de mouvement choisies \(\varepsilon, l_z, Q\). Ainsi, la géodésique oscillante vue plus haut possède un \(\gamma<0\), ce qui s’interprète aussi comme des écoulements de \(\tau\) de l’objet matériel et de \(\tau_{ZAMO}\) en sens opposé.
Appliquons maintenant la normalisation de la quadrivitesse de l’objet matériel : \(g_{00}c^2\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2+2g_{0\varphi}c\frac{dt}{d\tau}\frac{d\varphi}{d\tau}+g_{rr}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+g_{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2+g_{\varphi \varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2=-c^2.\)
En écrivant \(2g_{0\varphi}c\frac{dt}{d\tau}\frac{d\varphi}{d\tau}+g_{\varphi \varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2=g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{d\tau}\right)^2-c^2\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2,\) il vient
\(c^2\left(g_{00}-\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2+g_{rr}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+g_{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2+g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{d\tau}\right)^2=-c^2\)
ou encore \(-c^2\gamma^2+g_{rr}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+g_{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2+g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{d\tau}\right)^2=-c^2.\)
En posant \(v^2=\frac{g_{rr}}{\gamma^2}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2+\frac{g_{\theta\theta}}{\gamma^2}\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2+\frac{g_{\varphi\varphi}}{\gamma^2}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{d\tau}\right)^2,\) la normalisation s’écrit :
\(-c^2\gamma^2+v^2\gamma^2=-c^2\) soit \(v^2=-\frac{c^2}{\gamma^2}+c^2=c^2\left(1-\frac{1}{\gamma^2}\right)\) ce qui donne \(v=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}\)
ou aussi \(\gamma=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\) ce qui implique \(|\gamma|\ge 1\).

Géodésiques de genre espace
En considérant le ZAMO vu plus haut, l’équivalent du facteur de Lorentz pour une géodésique de genre espace est l’opposé du produit scalaire de la quadrivitesse du ZAMO et de la quadrivitesse du point de genre espace divisé par \(c\), soit \(\Gamma=-g_{\mu\nu}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^{\mu}\left(\frac{dx}{dl}\right)^{\nu}/c\), \(l\) étant la longueur propre.
Avec la quadrivitesse du ZAMO vue plus haut \(\left(\frac{1}{\alpha},0,0,-\frac{c}{\alpha}\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\right)\), le produit scalaire des 2 quadrivitesses s’écrit :
\(g_{00}\frac{c^2}{\alpha}\frac{dt}{dl}-g_{0\varphi}\frac{c^2}{\alpha}\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{dl}+g_{0\varphi}\frac{c}{\alpha}\frac{d\varphi}{dl}-g_{\varphi\varphi}\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{c}{\alpha}\frac{d\varphi}{dl},\) c’est-à-dire \(\frac{c^2}{\alpha}\left(g_{00}-\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}\right)\frac{dt}{dl}=-\frac{c^2}{\alpha}\alpha^2\frac{dt}{dl}=-c^2\alpha\frac{dt}{dl},\) ce qui donne finalement \(\Gamma=c\alpha\frac{dt}{dl}=c\frac{d\tau_{ZAMO}}{dl}\).
Appliquons maintenant la normalisation de la quadrivitesse du point de genre espace : \(g_{00}c^2\left(\frac{dt}{dl}\right)^2+2g_{0\varphi}c\frac{dt}{dl}\frac{d\varphi}{dl}+g_{rr}\left(\frac{dr}{dl}\right)^2+g_{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{dl}\right)^2+g_{\varphi \varphi}\left(\frac{d\varphi}{dl}\right)^2=1.\)
En écrivant \(2g_{0\varphi}c\frac{dt}{dl}\frac{d\varphi}{dl}+g_{\varphi \varphi}\left(\frac{d\varphi}{dl}\right)^2=g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{dl}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{dl}\right)^2-c^2\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}\left(\frac{dt}{dl}\right)^2,\) il vient
\(c^2\left(g_{00}-\frac{g_{0\varphi}^2}{g_{\varphi\varphi}}\right)\left(\frac{dt}{dl}\right)^2+g_{rr}\left(\frac{dr}{dl}\right)^2+g_{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{dl}\right)^2+g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{dl}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{dl}\right)^2=1\)
ou encore \(-\Gamma^2+g_{rr}\left(\frac{dr}{dl}\right)^2+g_{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{dl}\right)^2+g_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{dl}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{dl}\right)^2=1.\)
En posant \(v^2=c^2\left(\frac{g_{rr}}{\Gamma^2}\left(\frac{dt}{dl}\right)^2+\frac{g_{\theta\theta}}{\Gamma^2}\left(\frac{d\theta}{dl}\right)^2+\frac{g_{\varphi\varphi}}{\Gamma^2}\left(\frac{d\varphi}{dl}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{dl}\right)^2\right),\) la normalisation s’écrit :
\(-\Gamma^2+v^2\frac{\Gamma^2}{c^2}=1\) soit \(\frac{v^2}{c^2}=1+\frac{1}{\Gamma^2}\) ce qui donne \(v=c\sqrt{1+\frac{1}{\Gamma^2}}\)
ou aussi \(\Gamma=\pm\frac{1}{\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}\).

Mesure des vitesses par le ZAMO

Les composantes des vitesses d’un objet matériel, d’un photon ou d’un point de genre espace vues plus haut comprennent respectivement au dénominateur les termes \(\gamma d\tau\), \(\alpha dt\) ou \(\Gamma\frac{dl}{c}\) qui vaut par définition \(d\tau_{ZAMO}\) et peuvent donc s’écrire :
\(v_r=\sqrt{g_{rr}}\frac{dr}{d\tau_{ZAMO}}\), \(v_\theta=\sqrt{g_{\theta\theta}}\frac{d\theta}{d\tau_{ZAMO}}\) et \(v_\varphi=\sqrt{g_{\varphi\varphi}}\left(\frac{d\varphi}{d\tau_{ZAMO}}+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{d\tau_{ZAMO}}\right)\).
Ces formules montrent que le ZAMO mesure par projection spatiale des distances parcourues et calcule les vitesses en les divisant par son temps propre, ce qui lui permet de définir une cinématique locale complète.

Autre écriture du facteur de Lorentz

Avec \(\frac{dt}{d\tau}=\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta-2mar\ c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)\frac{\varepsilon}{c^2\Delta\Sigma}\)
et sachant que \((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta=\Sigma\frac{g_{\varphi\varphi}}{\sin^2\theta}\) et que \(-2mar\ c\frac{l_z}{\varepsilon}=\Sigma\frac{g_{0\varphi}}{\sin^2\theta}\) :
\(\gamma^2=\alpha^2\left(\frac{\Sigma}{\sin^2\theta}g_{\varphi\varphi}\left(1+m\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{cl_z}{m\varepsilon}\right)\frac{\varepsilon}{c^2\Delta\Sigma}\right)^2\) et avec \(\Delta\Sigma=\alpha^2\frac{\Sigma }{\sin^2\theta}g_{\varphi\varphi}\), nous obtenons avec la condition \(\Delta>0\) :
\(\gamma=\frac{\varepsilon+c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}l_z}{\alpha c^2}\), qui est aussi \(\Gamma\) pour une géodésique espace en remplaçant \(d\tau\) par \(\frac{dl}{c}\) dans le calcul ci-dessus.

Détermination des constantes du mouvement \(\varepsilon\), \(l_z\) et \(Q\) en fonction des conditions initiales

Les conditions initiales sur la position \(r,\theta,\varphi\) d’un point permettent de déterminer numériquement les coefficients \(g_{\mu\nu}\) du tenseur métrique associé.
Avec ces coefficients, les conditions initiales sur la vitesse \(v_r,v_\theta,v_\varphi\) mesurée par un ZAMO permettent alors de calculer \(v^2=v_r^2+v_{\theta}^2+v_{\varphi}^2\), d’où \(\varepsilon\) et \(l_z\) puis \(Q\) et d’en déduire la trajectoire associée.

Détermination de \(\varepsilon\)
Par définition, \(\frac{\varepsilon}{c}=-p_0\) soit \(-\left(g_{00}c\frac{dt}{d\tau}+g_{0\varphi}\frac{d\varphi}{d\tau}\right)\) et \(\frac{d\varphi}{d\tau}\) se calcule avec la formule de \(v_{\phi}\) vue plus haut ce qui donne \(\frac{d\varphi}{d\tau}=\gamma\frac{v_{\phi}}{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}-c\frac{g_{0\varphi}}{g_{\varphi\varphi}}\frac{dt}{d\tau}.\)
En remplaçant \(\frac{d\varphi}{d\tau}\) par sa valeur dans la formule de \(\frac{\varepsilon}{c}\), et après développement et regroupement, nous obtenons :
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=\gamma\left(\sqrt{\frac{g_{0\varphi}^2-g_{00}}{g_{\varphi\varphi}}}-\frac{g_{0_\varphi}}{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}\frac{v_\varphi}{c}\right)=\gamma\left(\alpha-\frac{g_{0_\varphi}}{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}\frac{v_\varphi}{c}\right).\)

Détermination de \(l_z\)
Par définition, \(l_z=p_\varphi\) soit \(g_{0\varphi}c\frac{dt}{d\tau}+g_{\varphi\varphi}\frac{d\varphi}{d\tau}.\)
En remplaçant \(\frac{d\varphi}{d\tau}\) par sa valeur dans la formule de \(l_z\), et après développement et regroupement, nous obtenons :
\(l_z=\gamma\sqrt{g_{\varphi\varphi}}v_\varphi\).

Détermination de \(Q\)
Avec la formule de \(v_\theta\) vue plus haut, nous avons \(\frac{d\theta}{d\tau}=\frac{\gamma}{\sqrt{g_{\theta\theta}}}v_\theta\) et le potentiel polaire effectif s’écrit alors \(V_\theta=g_{\theta\theta}^2\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2=g_{\theta\theta}\gamma^2 v_{\theta}^2,\) d’où
\(Q=\gamma^2 g_{\theta\theta} v_{\theta}^2-\cos^2\theta\left(a^2\left(\kappa c^2+\frac{\varepsilon^2}{c^2}\right)-\frac{l_z^2}{\sin^2\theta}\right)\)
qui se calcule avec les valeurs \(\varepsilon\) et \(l_z\) déterminées précédemment.

Géodésique de genre espace
En remplaçant \(d\tau\) par \(\frac{dl}{c}\) dans les calculs ci-dessus, les 3 formules de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\), \(l_z\) et \(Q\) s’appliquent pour une géodésique de genre espace en remplaçant \(\gamma\) par \(\Gamma\).

Géodésique lumière
L’application des formules ci-dessus permet de calculer les constantes du mouvement :\(\frac{l_z}{\varepsilon}=\frac{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}v_\varphi}{c\left(c\alpha-\frac{g_{0\varphi}}{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}v_\varphi\right)},\)
\(\frac{Q}{\varepsilon^2}=\frac{g_{\theta\theta}v_{\theta}^2}{c^2\left(c\alpha-\frac{g_{0\varphi}}{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}v_\varphi\right)^2}-\cos^2\theta\left(\frac{a^2}{c^2}-\frac{1}{\sin^2\theta}\left(\frac{l_z}{\varepsilon}\right)^2\right),\)
qui se calcule avec la valeur \(\frac{l_z}{\varepsilon}\) déterminée précédemment.

Vitesse d’un objet matériel en chute libre sur le disque central

La dernière formulation du facteur de Lorentz permet d’obtenir un résultat remarquable :
pour un objet en chute libre arrivant sur le disque central (\(r=0,\theta\ne\frac{\pi}{2}\)) bordé par la singularité annulaire, le ZAMO mesure une vitesse égale à la vitesse « à l’infini » de l’objet mesurée par un observateur statique, puisque \(g_{0\varphi}=0\) et \(\alpha=1\) ce qui donne \(\gamma=\frac{\varepsilon}{c^2}\). Il est à noter que le ZAMO sur le disque central est inertiel (seule la 1ère composante de sa quadrivitesse est non nulle), tout comme l’observateur statique à l’infini et que tous deux mesurent \(v=c\sqrt{1-\frac{1}{(\varepsilon/c^2)^2}}\), correspondant à \(\varepsilon\), énergie spécifique relativiste de l’objet matériel par unité de masse, constante du mouvement.

En ce qui concerne la singularité annulaire elle-même (\(r=0, \theta=\frac{\pi}{2}\)), \(\alpha\) vaut \(0\) ce qui signifie qu’un ZAMO ne peut y exister puisque la 1ère composante \(\frac{1}{\alpha}\) de sa quadrivitesse devient \(\infty\).
En conséquence, la vitesse d’un objet matériel sur la singularité annulaire n’est pas mesurable.

ORBITES STABLES DES OBJETS MATÉRIELS

Orbites excentriques

Cas général

Lorsque le potentiel effectif radial \(V_r\) avec \(\frac{\varepsilon}{c^2}<1\) est positif entre 2 racines réelles simples situées en dehors de l’ergosphère externe, la géodésique est une orbite stable de l’objet matériel, les 2 racines correspondant au périastre et à l’apoastre.
Un exemple est donné ci-dessous avec la rosace d’une orbite équatoriale comprise entre \(\bar{r}_{pér}\simeq 6\) et \(\bar{r}_{apo}\simeq 193\) qui sont 2 racines simples du potentiel \(V_r\) qui est positif entre ces 2 valeurs.
Note : le sens de rotation du trou noir de Kerr est précisé sur les axes z des figures des orbites ci-dessous.

L’exemple ci-dessous est celui d’une orbite polaire qui évolue entre \(\bar{r}_{pér}=6\) et \(\bar{r}_{apo}\simeq 192\).
Sur la vue 3d, la trajectoire paraît « désordonnée », cependant la verticalité (inclinaison \(i=90^\circ\)) des trajectoires pour les grandes valeurs de \(r\) est particulièrement visible sur la vue de dessus.

Les figures animées suivantes mettent en évidence les précessions progrades de l’orbite équatoriale prograde et de l’orbite polaire.
Note : voir la définition de la plus petite orbite circulaire stable (\(ISCO\)) au paragraphe suivant.

Orbites « zoom-whirl »

Si \(r_{pér}\) est proche de \(r_{ISCO}\), l’objet matériel parcourt une orbite excentrique avec un ou plusieurs tours autour du trou noir à proximité du périastre (orbite « zoom-whirl »).
Les figures animées sont ici celles d’orbites équatoriales rétrogrades avec des valeurs \(\bar{r}_{pér}\) proches de \(\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}\).
La 1ère figure montre une orbite avec une précession prograde et la 2ème une orbite avec une précession rétrograde, rendue possible en raison de la grande valeur de son périastre.

Orbites fermées périodiques

Les orbites peuvent être fermées dans l’espace et périodiques (« résonantes 3D ») : l’objet matériel repasse exactement sur la trajectoire qu’il a déjà parcourue.
Il existe dans ce cas une relation entre les fréquences fondamentales suivant chaque axe vues par un observateur statique à l’\(\infty\) telle que
\(\frac{\Omega_r}{n_r}=\frac{\Omega_\theta}{n_\theta}=\frac{\Omega_\varphi}{n_\varphi}\) avec \(n_r\), \(n_\theta\) et \(n_\varphi\) \(\in\mathbb{Z}\).
La 1ère figure animée est celle d’une orbite équatoriale prograde de facteur 4 de résonance avec une précession prograde, et la 2ème figure animée représente une orbite équatoriale rétrograde « zoom-whirl » de facteur 2 de résonance avec une précession rétrograde.

Vitesses extrémales, périodes et distances parcourues

Les vitesses extrémales s’obtiennent au périastre et à l’apoastre et peuvent se calculer suivant les formules vues plus haut.
Les périodes suivant le temps propre des objets matériels et les longueurs d’arc (abscisse curviligne) parcourues sur leurs orbites, entre 2 périastres successifs ou entre 2 apoastres successifs, peuvent s’obtenir numériquement à partir des valeurs \(\tau,r,x,y,z\) calculées par intégration des 4 équations paramétriques.
A titre d’information, la table ci-dessous donne les valeurs extrémales arrondies des vitesses parmi 3 orbites excentriques vues dans ce paragraphe.
Les périodes et distances parcourues ont été calculées pour un hypothétique trou noir de la masse du soleil, et l’importance de la force de marée au périastre implique que seuls des objets matériels d’une taille inférieure à quelques centimètres pourraient suivre ces orbites.

Orbite	vobs min (km/s)	vphys min (km/s)	vobs max (km/s)	vphys max (km/s)	Période (s)	Distance parcourue (km)
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=0,999\ \ \) zoom-whirl	\(1\ 481\ \ \ \ \)	\(1\ 437\ \ \ \ \)	\(135\ 800\)	\(185\ 100\)	\(0,3433\)	\(3\ 190\)
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=0,995\ \ \) prograde	\(5\ 854\)	\(5\ 869\)	\(145\ 000\)	\(158\ 100\)	\(0,03107\)	\(688\)
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=0,990749\) résonante	\(10\ 980\)	\(11\ 030\)	\(143\ 600\)	\(156\ 500\)	\(0,01238\)	\(404\)

ORBITES A COORDONNÉE RADIALE \(r\) CONSTANTE

Plus petites orbites circulaires stables – Trou noir de Schwarzschild

La plus petite orbite circulaire stable autour d’un trou noir de Schwarzschild est l’orbite limite de stabilité et correspond à la racine triple du potentiel effectif radial \(V_r\) avec \(\bar{a}=0\) et \(\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}+\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}=\frac{c^2l^2}{m\varepsilon^2}\).

Calcul de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) et \(\frac{cl}{m\varepsilon}\)

1) L’annulation de \(V_r\) peut s’écrire :
\(\left(1+\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\right)\bar{r}^4=2\kappa \frac{c^4}{\varepsilon^2}\bar{r}^3+\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}\bar{r}^2-2\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}\bar{r}\) ou bien avec la condition \(\bar{r}\ne 0\)
\(1= \left(1-\frac{2}{\bar{r}}\right)\left(-\kappa\frac{c^4}{\varepsilon^2}+\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}\frac{1}{\bar{r}^2}\right)\).

À partir de cette équation, le calcul peut se faire avec \(\varepsilon^2\) ou \(\frac{c^2l^2}{m^2}\).

2) L’annulation de \(\frac{dV_r}{dr}\) peut s’écrire \(2(\varepsilon^2+\kappa c^4)\bar{r}^3-3\kappa c^4\bar{r}^2+\frac{c^2l^2}{m^2}(1-\bar{r})=0\).

3) Enfin, l’annulation de \(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) peut s’écrire \(12(\varepsilon^2+\kappa c^4)\bar{r}^2-12\kappa c^4\bar{r}-2\frac{c^2l^2}{m^2}=0\).

Calcul de \(r_{ISCO}\)

Le calcul de la plus petite orbite circulaire stable peut se faire en remplaçant dans l’équation ci-dessus \(\varepsilon^2\) et \(\frac{c^2l^2}{m^2}\) par leurs valeurs fonction de \(r\), ce qui donne après regroupement :
\(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) pour les orbites circulaires \(=2\kappa c^4\frac{\bar{r}(\bar{r}-6)}{\bar{r}-3}\) qui vaut \(0\) pour
\(\bar{r}=6\Rightarrow\bar{r}_{ISCO}=6\) ou \(r_{ISCO}=6m= 3Rs\).

Pour un objet matériel (\(\kappa=-1\)), l’équation ci-dessus montre que \(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) est \(<0\) pour \(\bar{r}>6\) ce qui signifie que les orbites circulaires de coordonnée radiale constante \(\bar{r}_c>6\) sont stables.
Enfin, en remplaçant \(\bar{r}\) par la valeur \(6\) dans les expressions de \(\varepsilon^2\) et \(\frac{c^2l^2}{m^2}\) vues plus haut, nous avons
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\simeq 0,943\) et \(\frac{cl}{m}=2\sqrt{3}c^2\) soit \(\frac{cl}{m\varepsilon}=\sqrt{\frac{27}{2}}\simeq 3,674\).

Cas des géodésiques de genre espace

Les équations vues plus haut deviennent avec \(\kappa=1\) :
\(\varepsilon^2=c^4\frac{(\bar{r}-2)^2}{\bar{r}(3-\bar{r})}\) et \(\frac{c^2l^2}{m^2}=c^4\frac{\bar{r}^2}{3-\bar{r}}\),
et avec l’hypothèse \(\varepsilon^2>0\), cela entraîne \(0<\bar{r}<3\) pour les orbites circulaires (\(V_r=0\) et \(\frac{dV_r}{dr}=0\)).
Par ailleurs, l’annulation de \(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) ne dépend pas du signe de \(\kappa\) comme le montre l’équation \(2\kappa c^4\frac{\bar{r}(\bar{r}-6)}{\bar{r}-3}=0\) et donne la même solution que pour une géodésique de genre temps : \(\bar{r}=6\).
Cette valeur est incompatible avec la condition \(\bar{r}<3\) ce qui montre qu’il n’existe pas d’orbite stable pour les géodésiques de genre espace autour d’un trou noir de Schwarzschild.

Plus petites orbites circulaires stables – Trou noir de Kerr avec \(\bar{a}\ne 0\)

Calcul des \(r_{ISCOs}\)

Pour un objet matériel autour d’un trou noir de Kerr, il existe dans le plan équatorial une plus petite orbite circulaire stable prograde et une plus petite orbite circulaire stable rétrograde qui sont données par les formules :
\(\bar{r}_{ISCO\ prograde}=3+z_2-\sqrt{(3-z_1)(3+z_1+2z_2)}\) et
\(\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}=3+z_2+\sqrt{(3-z_1)(3+z_1+2z_2)}\)
avec \(z_1=1+(1-\bar{a}^2)^{1/3}((1+\bar{a})^{1/3}+(1-\bar{a})^{1/3})\) et \(z_2=\sqrt{3\bar{a}^2+z_1^2}\).
Pour un trou noir de Kerr extrême, ces formules donnent \(\bar{r}_{ISCO\ prograde}=1\) ou \(r_{ISCO\ prograde}=m\) et \(\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}=9\) ou \(r_{ISCO\ rétrograde}=9m\).

Calcul de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\)

Les valeurs associées de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) et de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) peuvent se calculer directement avec les valeurs de \(\bar{r}_{ISCO}\), suivant les formules standard des orbites circulaires équatoriales dans l’espace-temps de Kerr :
– orbite prograde :
-> si \(|\bar{a}|\ne 1\Rightarrow\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{3/2}-2{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{1/2}+|\bar{a}|}{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{3/4}\ \sqrt{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{3/2}-3{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{1/2}+2|\bar{a}|}}\)
et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\frac{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{2}-2|\bar{a}|{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{1/2}+\bar{a}^2}{{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{3/2}-2{\bar{r}_{ISCO\ prograde}}^{1/2}+|\bar{a}|}\),
-> si \(|\bar{a}|=1\Rightarrow\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\simeq 0,577\) et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=2\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\).
– orbite rétrograde :
\(\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{3/2}-2{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{1/2}-|\bar{a}|}{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{3/4}\ \sqrt{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{3/2}-3{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{1/2}-2|\bar{a}|}}\)
et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\frac{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{2}+2|\bar{a}|{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{1/2}+\bar{a}^2}{{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{3/2}-2{\bar{r}_{ISCO\ rétrograde}}^{1/2}-|\bar{a}|},\)
ce qui donne si \(|\bar{a}|=1\Rightarrow\frac{\varepsilon}{c^2}=\frac{5}{3\sqrt{3}}\simeq 0,962\) et \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-4,4\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\).

Enfin, il n’existe pas d’ISCO pour les géodésiques de genre lumière ou espace.

Orbites à coordonnée radiale \(r\) constante

De manière générale, il existe pour un objet matériel des orbites « sphériques » stables en perturbation radiale (\(r_c\) constant) avec tout type d’inclinaison \(i\).
Le tracé des potentiels \(V_r\) montre que ces orbites ne sont pas atteignables en chute libre depuis l’\(\infty\), les valeurs des potentiels étant négatives pour les grandes valeurs de \(r\). Un exemple est donné ci-dessous avec un paramètre de Kerr \(\bar{a}=0,95\) et la plus petite orbite polaire stable (\(\bar{r}_c\simeq 5,833\)) :

Par ailleurs, la valeur initiale de \(\frac{\varepsilon}{c^2}>1\) doit descendre par freinage en-dessous de \(1\) pour qu’un objet matériel venant de l’\(\infty\) puisse se placer sur une orbite stable autour du trou noir. Dans le cas d’une sonde voire d’un vaisseau spatial, l’orbite visée doit avoir une coordonnée radiale \(r_c\) très grande pour que la valeur de l’énergie de freinage nécessaire par unité de masse \(\Delta\varepsilon=\varepsilon_{initial} (>1)-\varepsilon_{final} (<1)\) reste techniquement atteignable.

Mise sur orbite stable à rayon constant d’un objet matériel autour d’un trou noir

À titre d’exemple, atteindre une orbite éloignée \(\bar{r}_c\simeq 50\ 000\) d’un trou noir de Kerr de paramètre \(\bar{a}=0,95\), nécessiterait pour un objet matériel avec \(v_{\infty}\simeq 100\ km/s\) soit \(\frac{\varepsilon}{c^2}=1,000000056\) de descendre à \(\frac{\varepsilon}{c^2}=0,99999\) soit une énergie de freinage de \(1,0056\ 10^{-5}c^2/kg\) ou \(\simeq 9\ 10^{11}\ J/kg\) bien au-delà de ce qu’un système embarqué de freinage pourrait fournir avec la technologie actuelle.
Ainsi, pour qu’une sonde ou un vaisseau spatial venant de l’\(\infty\) puisse se mettre sur une orbite lointaine autour d’un trou noir, en utilisant le meilleur carburant chimique pour décélérer soit \(\Delta E_{chim}\simeq 4\ 10^{7}\ J/kg\), il faudrait donc que \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) (son énergie spécifique relativiste initiale par unité de masse divisée par \(c^2\)) soit inférieure à \(1+\frac{\Delta E_{chim}}{c^2}\simeq 1+4.45\ 10^{-10}\ J/kg\) ce qui correspond à \(v_{\infty}\simeq 9\ km/s\) seulement.

Rayon des orbites circulaires d’un objet matériel – Énergie mécanique Newtonienne et énergie spécifique relativiste

Le rayon \(r_c\) d’une orbite circulaire lointaine en fonction de \(\frac{\varepsilon}{c^2}<1\) peut se calculer avec l’énergie mécanique Newtonienne par unité de masse de l’objet matériel \(\varepsilon_{méca}=\frac{1}{2}v^2-\frac{mc^2}{r_c}\) et \(v^2=\frac{mc^2}{r_c}\) soit \(\varepsilon_{méca}=-\frac{mc^2}{2r_c}\), ce qui permet d’écrire \(\frac{\varepsilon}{c^2}\simeq 1+\frac{\varepsilon_{méca}}{c^2}=1-\frac{m}{2r_c}=1-\frac{1}{2\bar{r}_c}\), ou encore \(\bar{r}_c\simeq\frac{1}{2\left(1-\frac{\varepsilon}{c^2}\right)}\).
A noter que cette formule ne peut pas s’appliquer pour les valeurs de \(\frac{\varepsilon}{c^2}\) sensiblement inférieures à \(1\) qui vont donner des orbites « proches » : les valeurs de \(r_c\) peuvent alors être obtenues par recherche numérique des racines doubles du potentiel \(V_r\), fonction de l’énergie spécifique relativiste de l’objet matériel.

Ainsi, l’énergie d’un objet matériel au repos par unité de masse étant \(c^2\), l’atteinte de la plus petite orbite stable autour d’un trou noir de Kerr extrême libère une énergie de \(c^2-c^2/\sqrt{3}\simeq 42\%\) de l’énergie totale au repos soit \(\simeq 3.8\ 10^{16}\ J/kg\), ce qui représente le système de production d’énergie le plus efficace connu dans l’univers, bien meilleur que le \(0,7\%\) des réactions thermonucléaires des étoiles (chaîne pp ou cycle CNO) et bien au-delà de toute technologie humaine connue.