GRAVITATION

DÉFINITION

Le calcul de la déviation de la lumière par les trous noirs de Kerr peut être fait à partir de la matrice du tenseur métrique de Kerr exprimée dans le système de coordonnées de Boyer-Lindquist (\(ct, r, \theta, \varphi\)) :
\((g_{\mu\nu})=\pmatrix{-1+\frac{2mr}{\Sigma}&0&0&-\frac{2mar\sin^2\theta}{\Sigma}\\0&\frac{\Sigma}{\Delta}&0&0\\0&0&\Sigma&0\\-\frac{2mar\sin^2\theta}{\Sigma}&0&0&\left(r^2+a^2+\frac{2ma^2r\sin^2\theta}{\Sigma}\right)\sin^2\theta}\)¹,
avec \(r\) coordonnée radiale du photon, \(\theta\) sa colatitude, \(G\) constante gravitationnelle, \(c\) vitesse de la lumière dans le vide, \(M\) masse du trou noir, \(m=\frac{GM}{c^2}\) masse réduite homogène au mètre, \(a=\frac{J}{cM}\) (\(>0\) pour une rotation propre du trou noir dans le sens trigonométrique, \(<0\) pour le sens horaire) avec \(J\) moment cinétique de rotation propre du trou noir, \(\Delta=r^2-2mr+a^2\) et \(\Sigma=r^2+a^2\cos^2{\theta}\).
Les coefficients de \((g_{\mu\nu})\) sont indépendants de \(t\) et de \(\varphi\) : la géométrie de l’espace-temps de Kerr est donc stationnaire et à symétrie axiale.
Le système de coordonnées est indéfini aux pôles puisque \(g_{\varphi\varphi}\) est nul pour \(\theta=0\) ou \(\theta=\pi\). De plus, les coordonnées sont invalides lorsque \(\Delta=0\) où \(g_{rr}\) diverge (singularité de coordonnées) ou lorsque \(\Sigma=0\) où \(g_{00}\), \(g_{0\varphi}\), \(g_{\varphi 0}\) et \(g_{\varphi\varphi}\) divergent (singularité annulaire ou centrale si \(a=0\)).
Les géodésiques des photons étant du genre lumière, leur longueur est nulle² et le produit scalaire d’un déplacement élémentaire \(\overrightarrow{ds}\) d’un photon dans l’espace-temps de Kerr s’écrit
\(g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu=ds^2=-\left(1-\frac{2mr}{\Sigma}\right)c^2dt^2-\frac{4mar\sin^2{\theta}}{\Sigma}cdtd\varphi+\frac{\Sigma}{\Delta}dr^2+\Sigma d\theta^2\)
\(+\left(r^2+a^2+\frac{2ma^2r\sin^2{\theta}}{\Sigma}\right)\sin^2{\theta}d\varphi^2=0\).

ÉTABLISSEMENT DES ÉQUATIONS PARAMÉTRIQUES

En suivant l’approche d’Hamilton-Jacobi, il s’agit de trouver \(S(x^\mu, \lambda)\), fonction des coordonnées du photon (\(x^\mu)=(ct, r, \theta, \varphi)\) et d’un paramètre affine \(\lambda\), et solution de l’équation d’Hamilton-Jacobi \(H\left(x^\mu,\frac{\delta S}{\delta x^\mu}\right)+\frac{\delta S}{\delta\lambda}=0\)³, avec \(\frac{\delta S}{\delta\lambda}=0\) car les géodésiques des photons sont du genre lumière.
Il peut être montré que si \(S\) est solution alors \(\frac{\delta S}{\delta x^\mu}=p_\mu\) avec (\(p_\mu\)) moment conjugué du photon.
La conservation de l’énergie \(\varepsilon\) et de la composante \(l_z\) du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) sur l’axe de rotation du trou noir, tout au long du mouvement du photon, donne \(p_0=-\frac{\varepsilon}{c}\) et \(p_\varphi=l_z\), ce qui conduit à une fonction du type :
\(S=-\frac{\varepsilon}{c} ct+S^{(r)}(r)+S^{(\theta)}(\theta)+l_z\varphi\)⁴\(\hspace{2cm}\)(2.a), en recherchant une solution séparable en \(r\) et en \(\theta\).
L’inverse de la matrice du tenseur métrique de Kerr est :
\((g^{\mu\nu})=\pmatrix{-\frac{(r^2+a^2)^2}{\Sigma\Delta}+\frac{a^2\sin^2\theta}{\Sigma}&0&0&-\frac{2mar}{\Sigma\Delta}\\0&\frac{\Delta}{\Sigma}&0&0\\0&0&\frac{1}{\Sigma}&0\\-\frac{2mar}{\Sigma\Delta}&0&0&\frac{1}{\Sigma\sin^2\theta}-\frac{a^2}{\Sigma\Delta}}\)⁵,
et le hamiltonien s’écrit \(H=\frac{1}{2}g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu\),
avec (\(p_\mu\)) moment conjugué \(\left(-\frac{\varepsilon}{c},\frac{dS(r)}{dr},\frac{dS(\theta)}{d\theta},l_z\right)\), soit :
\(H=\frac{1}{2}\left [\left(-\frac{(r^2+a^2)^2}{\Sigma\Delta}+\frac{a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\right)\frac{\varepsilon^2}{c^2}+\frac{4mar}{\Sigma\Delta}\frac{\varepsilon}{c}l_z+\frac{\Delta}{\Sigma}\left(\frac{dS^{(r)}}{dr}\right)^2+\frac{1}{\Sigma}\left(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{1}{\Sigma\sin^2\theta}-\frac{a^2}{\Sigma\Delta}\right)l_z^2\right]=0\hspace{2cm}\)(2.b),
dans l’espace-temps de Kerr car les géodésiques des photons sont du genre lumière.
De plus \(\frac{dx^\mu}{d\lambda}=\frac{\delta H}{\delta p_\mu}\hspace{2cm}\)(2.c).

Équations paramétriques de \(r\) et de \(\theta\)

Après multiplication par \(2\Sigma\), l’équation (2.b) peut se mettre sous la forme :
\(-\Delta\left(\frac{dS^{(r)}}{dr}\right)^2+\frac{(r^2+a^2)^2}{\Delta}\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{4mar}{\Delta}\frac{\varepsilon}{c} l_z+\frac{a^2l_z^2}{\Delta}=\left(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta}\right)^2+a^2\sin^2\theta\frac{\varepsilon^2}{c^2}+\frac{l_z^2}{\sin^2\theta}\),
et en retranchant \(a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}+l_z^2\) à chaque membre :
\(-\Delta\left(\frac{dS^{(r)}}{dr}\right)^2+\frac{(r^2+a^2)^2}{\Delta}\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{4mar}{\Delta}\frac{\varepsilon}{c} l_z+\frac{a^2l_z^2}{\Delta}-a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}-l_z^2=\left(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta}\right)^2-a^2\cos^2\theta\frac{\varepsilon^2}{c^2}+\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}l_z^2\hspace{2cm}\)(2.d).
Le membre de gauche de (2.d) ne dépend pas de \(\theta\) et le membre de droite ne dépend pas de \(r\) ce qui implique qu’ils gardent une valeur constante \(Q\), ce qui donne les 2 équations :
\(-\Delta\left(\frac{dS^{(r)}}{dr}\right)^2+\frac{(r^2+a^2)^2}{\Delta}\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{4mar}{\Delta}\frac{\varepsilon}{c} l_z+\frac{a^2l_z^2}{\Delta}-a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}-l_z^2=Q\hspace{2cm}\)(2.e),
\(\left(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta}\right)^2-a^2\cos^2\theta\frac{\varepsilon^2}{c^2}+\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}l_z^2=Q\hspace{2cm}\)(2.f).
En remarquant que \(2a-2a\frac{r^2+a^2}{\Delta}=-\frac{4mar}{\Delta}\), (2.e) devient :
\(-\Delta\left(\frac{dS^{(r)}}{dr}\right)^2+\frac{\left(\left(r^2+a^2\right)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right)^2}{\Delta}-(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z)^2=Q\), ce qui donne les 2 équations :
\(\Delta\left(\frac{dS^{(r)}}{dr}\right)^2=\frac{\left(\left(r^2+a^2\right)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right)^2}{\Delta}-(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z)^2-Q\hspace{2cm}\)(2.g),
\(\left(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta}\right)^2=Q+\cos^2\theta\left(a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{l_z^2}{\sin^2\theta}\right)\hspace{2cm}\)(2.h).
Note : (2.g)/\(\Delta\) est mathématiquement positif ou nul ce qui signifie que pour une valeur \(r\) donnée il existe des conditions liant \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) et \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\). De même, (2.h) étant mathématiquement positif ou nul, il existe pour une valeur \(\theta\) donnée des conditions liant \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) et \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\). Ces conditions sont discutées aux paragraphes 3.4 et 3.5.
En posant
\(V_r=\left(\left(r^2+a^2\right)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right)^2-\Delta\left(\left(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right)^2+Q\right)=\Delta^2\left(\frac{dS^{(r)}}{dr}\right)^2\hspace{2cm}\)(2.i), et
\(V_\theta=Q+\cos^2\theta\left(a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{l_z^2}{\sin^2\theta}\right)=\left(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta}\right)^2\hspace{2cm}\)(2.j),
(2.a) vue plus haut s’écrit :
\(S=-\frac{\varepsilon}{c} ct+\int\frac{\sqrt{V_r}}{\Delta}dr+\int\sqrt{V_\theta}\ d\theta+l_z\varphi\).
Il s’en déduit alors :
\(p_r=\frac{\delta S}{\delta r}=\pm\frac{\sqrt{V_r}}{\Delta}=\frac{\Sigma}{\Delta}\frac{dr}{d\lambda}\) (en appliquant (2.c)), et
\(p_\theta=\frac{\delta S}{\delta\theta}=\pm\sqrt{V_\theta}=\Sigma\frac{d\theta}{d\lambda}\) (en appliquant (2.c)),
soit \(V_r=\Sigma^2(\frac{dr}{d\lambda})^2\hspace{2cm}\)(2.k),
et \(V_\theta=\Sigma^2(\frac{d\theta}{d\lambda})^2\hspace{2cm}\)(2.l).
Note : la constante \(Q\) est appelée constante de Carter dans la suite du document attendu qu’elle est reliée à la constante originelle \(K\) de Carter par la relation \(Q=K+(l_z-a\varepsilon)^2\).

Équations paramétriques de \(\varphi\) et de \(ct\)

D’après (2.c), \(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\frac{\delta H}{\delta l_z}\) et \(\frac{dct}{d\lambda}=\frac{\delta H}{\delta\left(-\frac{\varepsilon}{c}\right)}\),
ce qui conduit à
\(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\frac{\varepsilon}{c}\left(\frac{2mar}{\Sigma}+(\Sigma-2mr)\frac{1}{\Sigma\sin^2\theta}c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)/\Delta\hspace{2cm}\)(2.m), et
\(\frac{dct}{d\lambda}=\frac{\varepsilon}{c}\left(\left(\frac{(r^2+a^2)^2}{\Sigma}-\frac{\Delta a^2\sin^2\theta}{\Sigma}-\frac{2mar}{\Sigma}c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)\right)/\Delta\hspace{2cm}\)(2.n).

Expression des 4 équations paramétriques \(\frac{dr}{d\lambda}\), \(\frac{d\theta}{d\lambda}\), \(\frac {d\varphi}{d\lambda}\) et \(\frac {dct}{d\lambda}\)

Finalement, les équations (2.i), (2.j), (2.k), (2.l), (2.m) et (2.n) conduisent aux 4 équations différentielles paramétriques du 1er ordre du mouvement du photon permettant le calcul des géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr :
\(\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2=\left(\left(r^2+a^2-ac\frac{l_z}{\varepsilon}\right)^2-\Delta\left(\left(a-c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)^2+c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}\right)\right)\frac{\varepsilon^2}{ c^2\Sigma^2}\hspace{2cm}\)(2.o),
\(\left(\frac{d\theta}{d\lambda}\right)^2=\left(c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}+\cos^2\theta\left(a^2-c^2\frac{l_z^2}{\varepsilon^2\sin^2\theta}\right)\right)\frac{\varepsilon^2}{ c^2\Sigma^2}\hspace{2cm}\)(2.p),
\(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\left(2mar+(\Sigma-2mr)c\frac{l_z}{\varepsilon\sin^2\theta}\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma}\hspace{2cm}\)(2.q) et,
\(\frac{dct}{d\lambda}=\left((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta-2mar\ c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma}\hspace{2cm}\)(2.r).
Note : la symétrie axiale se retrouve dans les 4 équations ci-dessus qui font apparaître une double symétrie de \(a\) et de \(l_z\) par rapport à \(0\) qui montre que les trajectoires de 2 photons avec les mêmes conditions initiales et de paramètres respectifs \(a\), \(l_z\) et \(-a\), \(-l_z\) sont symétriques par rapport à l’axe \(z\) de rotation du trou noir (valeurs \(\varphi-\varphi_{initial}\) opposées).
D’autre part, (2.q) montre que dans l’espace-temps de Kerr, une trajectoire donnée d’un photon ne peut pas être parcourue dans l’autre sens sauf dans le cas particulier \(a=0\) (espace-temps de Schwarzschild) qui est la seule solution pour \(\frac{d\varphi_2}{d\lambda}=-\frac{d\varphi_1}{d\lambda}\) avec \(l_{z_2}=-l_{z_1}\).
Enfin, (2.r) a en dénominateur le terme \(\Delta\) qui s’annule pour les horizons des évènements et de Cauchy, ce qui montre d’une part que ces hypersurfaces sont du genre lumière et d’autre part qu’un observateur arrivant à l’horizon des évènements percevrait les rayonnements extérieurs avec un décalage infini vers le rouge (dilatation infinie du temps), et arrivant à l’horizon de Cauchy, les percevrait avec un décalage infini vers le bleu (compression infinie du temps).
Dans la suite, \(r_s=R_s=2m\), \(a>0\) correspond à une rotation propre du trou noir trigonométrique et \(a<0\) à une rotation horaire, les variables sans dimension \(\bar{a}=\frac{a}{m}\) et \(\bar{r}=\frac{r}{m}\) sont utilisées, et \(|a|\) est compris entre \(0\) et \(m\), bornes incluses, excepté pour l’espace-temps de Kerr rapide décrit avant la conclusion.

TRAJECTOIRES DES PHOTONS

Le calcul de la déviation de la lumière par les trous noirs de Kerr et plus précisément les trajectoires des photons déviés par un trou noir en rotation de caractéristiques \(m\) et \(a\) peuvent être obtenues par intégration des équations (2.o), (2.p), (2.q) et (2.r) par rapport à un paramètre affine \(\lambda\).
Les conditions initiales sont \(ct_0, r_0, \theta_0, \varphi_0\), les signes de \(\frac{dr}{d\lambda}_0 \) et de \(\frac{d\theta}{d\lambda}_0\) et les paramètres sont \(c\frac{l_z}{\varepsilon}\) et \(c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}\) avec les invariants \(\varepsilon\) énergie du photon, \(l_z\) composante du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) du photon suivant l’axe de rotation du trou noir et \(Q\) constante de Carter.

Expression cartésienne de la trajectoire

Les géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr donnent des trajectoires qui peuvent être visualisées dans un repère fixe (\(O, x, y, z\)), \(O\) étant le centre du trou noir et \(z\) son axe de rotation, en utilisant les coordonnées cartésiennes de Boyer-Lindquist :
\(x=\sqrt{r^2+a^2}\cos\varphi\sin\theta\), \(y=\sqrt{r^2+a^2}\sin\varphi\sin\theta\) et \(z=r\cos\theta\).

Effet Lense-Thirring

L’expression de \(\frac{d\varphi}{dt}\) est obtenue à partir des équations (2.q) et (2.r) :
\(\frac{d\varphi}{dt}=\frac{2marc+(\Sigma-2mr)c^2\frac{l_z}{\varepsilon\sin^2\theta}}{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta-2marc\frac{l_z}{\varepsilon}}\),
ce qui induit un effet « d’entraînement » du photon par la rotation du trou noir.
En remplacant \(\Delta\) et \(\Sigma\) par leur valeur respective et après développement du dénominateur, il vient :
\(\frac{d\varphi}{dt}=\frac{2marc+(r^2+a^2\cos^2\theta-2mr)c^2\frac{l_z}{\varepsilon\sin^2\theta}}{(r^2+a^2)(r^2+a^2\cos^2\theta)+2mar\left(a\sin^2\theta-c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)}\hspace{2cm}\)(3.a),
et pour \(l_z=0\) :
\(\frac{d\varphi}{dt}=\frac{2marc}{(r^2+a^2)(r^2+a^2\cos^2\theta)+2ma^2r\sin^2\theta}\) qui est du signe de \(a\).
Cet effet est particulièrement visible pour les orbites polaires :

(3.a) implique par ailleurs qu’un photon entrant dans l’ergosphère externe (soit \(\Sigma-2mr\lt 0\)) a un sens de rotation nécessairement prograde (identique à celui du trou noir) : \(a\gt 0\Rightarrow\) \(\frac{d\varphi}{dt}\gt 0\) ou \(a\lt 0\Rightarrow\) \(\frac{d\varphi}{dt}\lt 0\). Ainsi, l’hypersurface de l’ergosphère externe est une limite de stationnarité.

Exemple de trajectoire d’un photon dans le plan équatorial (\(Q=0\)) avec inversion du sens de variation de \(\varphi\) avant l’entrée dans l’ergosphère externe, puis ralliement au cercle de singularité de rayon \(a\) (singularité annulaire).

Condition si constante de Carter \(Q<0\)

Valeurs extrémales de \(Q\)

Pour une valeur de \(\frac{l_z}{\varepsilon}\) donnée, il existe des limites de \(\frac{Q}{\varepsilon^2}\).

Limites suivant \(r\)

L’expression (2.o) doit rester positive ou nulle ce qui se traduit avec \(\bar{\Delta}=\bar{r}^2-2\bar{r}+\bar{a}^2\) par :
– si \(\bar{\Delta}>0\) (photon à l’extérieur de l’horizon des évènements ou à l’intérieur de l’horizon de Cauchy du trou noir) : \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\le\frac{\left(\bar{r}^2+\bar{a}^2-\bar{a}\frac{cl_z}{m\varepsilon}\right)^2}{\bar{\Delta}}-(\bar{a}-\frac{cl_z}{m\varepsilon})^2\),
– si \(\bar{\Delta}<0\) (photon entre l’horizon des évènements et l’horizon de Cauchy du trou noir) : \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\ge\frac{\left(\bar{r}^2+\bar{a}^2-\bar{a}\frac{cl_z}{m\varepsilon}\right)^2}{\bar{\Delta}}-(\bar{a}-\frac{cl_z}{m\varepsilon})^2\).
Il existe donc des valeurs limites de \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) qui dépendent des caractéristiques \(m\) et \(a\), de la coordonnée radiale \(r\) du photon et de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\).

Limite suivant \(\theta\)

L’expression (2.p) doit rester positive ou nulle ce qui se traduit par :
\(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\ge\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}\frac{1}{\tan^2\theta}-\bar{a}^2\cos^2\theta\).
Il existe donc une valeur minimale de \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) qui dépend des caractéristiques \(m\) et \(a\), de la colatitude \(\theta\) du photon et de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\).
En notant que \(\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}\frac{1}{\tan^2\theta}\) doit rester positif ou nul, la condition vue ci-dessus entraîne \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\ge -\bar{a}^2\cos^2\theta\) ce qui signifie que \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) ne peut être inférieur à \(-\bar{a}^2\), condition très restrictive pour les valeurs négatives de la constante de Carter \(Q\) dans le cas des trous noirs de Kerr.

Valeurs extrémales de la composante \(l_z\) du moment cinétique sur l’axe de rotation du trou noir

Pour une valeur de \(\frac{Q}{\varepsilon^2}\) donnée, il existe des limites de \(\frac{l_z}{\varepsilon}\).

Limites suivant \(r\)

L’expression (2.o) doit rester positive ou nulle ce qui se traduit après développement, avec \(\bar{\Delta}=\bar{r}^2-2\bar{r}+\bar{a}^2\) par :
\(\bar{r}^4+\left(\bar{a}^2-\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}\right)\bar{r}^2+2\left(\bar{a}-\frac{cl_z}{m\varepsilon}\right)^2-\bar{\Delta}\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\ge 0\), ce qui s’écrit :
\(\bar{r}(2-\bar{r})(\frac{cl_z}{m\varepsilon})^2-4\bar{a}\bar{r}\frac{cl_z}{m\varepsilon}+\bar{r}^4+\bar{a}^2\bar{r}^2+2\bar{a}^2\bar{r}-\bar{\Delta}\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\ge 0\hspace{2cm}\)(3.c).
Le membre de gauche de (3.c) est un polynôme du 2ème degré en \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) et le discriminant réduit peut s’écrire après regroupement :
\(D’=\left(\bar{r}^4+\bar{r}(2-\bar{r})\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\right)\bar{\Delta}\).
En considérant que \(\bar{r}\ne 2\) (voir ci-dessous le cas particulier \(\bar{r}=2\)), il existe donc des valeurs limites de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) qui dépendent des caractéristiques \(m\) et \(a\), de la coordonnée radiale \(r\) du photon et de \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) :
– si \(D’>0\) il existe 2 racines : \(\frac{2\bar{a}\bar{r}\pm\sqrt{D’}}{\bar{r}(2-\bar{r})}\).
Pour que (3.c) soit respectée, quand \(\bar{r}>2\), \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) doit être compris entre les 2 racines et quand \(\bar{r}<2\), \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) doit être à l’extérieur des 2 racines.
– si \(D’\le 0\), \(\bar{r}\) doit rester inférieur à 2, quelle que soit la valeur de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\).
Quand \(\bar{r}=2\), (3.c) implique :
– si \(\bar{a}>0\), \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\le\frac{\bar{r}^4+\bar{a}^2\bar{r}^2+2\bar{a}^2\bar{r}-\bar{\Delta}\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}}{4\bar{a}\bar{r}}=\frac{2}{\bar{a}}+\bar{a}\left(1-\frac{c^2Q}{8m^2\varepsilon^2}\right)\),
– si \(\bar{a}<0\), \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\ge\frac{\bar{r}^4+\bar{a}^2\bar{r}^2+2\bar{a}^2\bar{r}-\bar{\Delta}\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}}{4\bar{a}\bar{r}}=\frac{2}{\bar{a}}+\bar{a}\left(1-\frac{c^2Q}{8m^2\varepsilon^2}\right)\).

Limite suivant \(\theta\)

L’expression (2.p) doit rester positive ou nulle ce qui se traduit par :
\(\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}\le\sin^2\theta\left(\bar{a}^2+\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\frac{1}{\cos^2\theta}\right)\).
Il existe donc une valeur maximale de \(\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}\) qui dépend des caractéristiques \(m\) et \(a\), de la colatitude \(\theta\) du photon et de \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\).

ORBITES DES PHOTONS

Les géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr peuvent admettre une coordonnée radiale \(r\) constante générant une orbite des photons.

Coordonnée radiale constante

La valeur de la coordonnée radiale \(r_c\) constante s’obtient en annulant \(V_r\) (2.i) et sa dérivée \(\frac{dV_r}{dr}\).
Ces conditions entraînent après calcul (voir paragraphe 4.6) que \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-\frac{(\bar{r}_c^3-3\bar{r}_c^2+\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2)}{\bar{a}(\bar{r}_c-1)}\) et \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}=-\frac{\bar{r}_c^3(\bar{r}_c^3-6\bar{r}_c^2+9\bar{r}_c-4\bar{a}^2)}{\bar{a}^2(\bar{r}_c-1)^2}\).
D’autre part, (2.p) signifie que pour une orbite de photons, \(\left(\frac{d\theta}{d\lambda}\right)^2\) a son maximum pour \(\theta=\frac{\pi}{2}\), ce maximum étant \(Q\).
Par conséquent, pour l’orbite d’un photon traversant le plan équatorial, la valeur de la constante de Carter est nécessairement supérieure ou égale à zéro, sinon \(\left(\frac{d\theta}{d\lambda}\right)^2\) serait négatif.
En se limitant au cas \(Q\ge 0\), avec \(i\in [0,\pi]\) l’angle d’inclinaison constant du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) par rapport à l’axe de rotation du trou noir et \(l\) la norme constante du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\), \(l_z=l\cos i\) conduit à \(Q=l^2\sin^2i\) (voir paragraphe 4.9) et les résultats suivants peuvent être obtenus (voir démonstration paragraphe 4.6) :
– d’une part avec \(l=\sqrt{l_z^2+Q}\) : \(\frac{cl}{m\varepsilon}=\sqrt{\frac{2\bar{r}_c^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r}_c^2+2\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2}{(\bar{r}_c-1)^2}}\),
– d’autre part \(\bar{r}_c\) est une racine du polynôme en \(\bar{r}^5\) :
\(q(\bar{r})=\bar{r}^5-3\bar{r}^4+2\bar{a}^2\bar{r}^3\sin^2i-2\bar{a}^2\bar{r}^2+\bar{a}^4\bar{r}\sin^2i+\bar{a}^4\sin^2i\)
\(+2\bar{a}\bar{r}\cos i\sqrt{3\bar{r}^4+(1-3\sin^2i)\bar{a}^2\bar{r}^2-\bar{a}^4\sin^2i}\).
\(q(\bar{r}_c)=0\hspace{2cm}\)(4.a) est une équation caractéristique qui donne pour une valeur de \(i\) comprise entre \(0\) et \(\pi\) la coordonnée radiale sans dimension \(\bar{r}_c\) de l’orbite du photon, avec une ou trois solutions réelles selon les valeurs de \(\bar{a}\) et \(i\) (voir paragraphe 4.8).
Si \(i\in [0,\frac{\pi}{2}]\) ou \(l_z\ge 0\), l’orbite est prograde et si \(i\in [\frac{\pi}{2},\pi]\) ou \(l_z\le 0\), l’orbite est rétrograde.
– enfin, il existe un autre polynôme en \(\bar{r}^6\) dont la racine pour une valeur de \(\sin^2i\) donne également la coordonnée radiale sans dimension \(\bar{r}_c\) de l’orbite du photon :
\(p(\bar{r})=\bar{r}^6-6\bar{r}^5+(9+2\bar{a}^2\sin^2⁡i)\bar{r}^4-4\bar{a}^2\bar{r}^3-\bar{a}^2(6-\bar{a}^2)\bar{r}^2\sin^2⁡i+2\bar{a}^4\bar{r}\sin^2⁡i+\bar{a}^4\sin^2⁡i\)
\(p(\bar{r}_c)=0\hspace{2cm}\)(4.b) est une équation caractéristique qui donne pour une même valeur de \(\sin^2⁡i\) au moins 2 solutions \(\bar{r}_{c_{prograde}}\) (orbite décrite dans le sens de rotation du trou noir) et \(\bar{r}_{c_{rétrograde}}\) (orbite décrite dans le sens opposé à la rotation du trou noir) telles que \(0\le\bar{r}_{c_{prograde}}\le 3\le\bar{r}_{c_{rétrograde}}\le 4\) avec \(i_{prograde}\in [0,\frac{\pi}{2}]\) ou \(l_z\ge 0\), \(i_{rétrograde}\in [\frac{\pi}{2},\pi]\) ou \(l_z\le 0\), et \(\sin i_{rétrograde}=-\sin i_{prograde}\).
Il n’existe pas de solution analytique simple connue des équations (4.a) ou (4.b) excepté pour les orbites équatoriales (\(i=0\) ou \(i=\pi\)), les orbites polaires (\(i=\frac{\pi}{2}\)) ou les orbites autour d’un trou noir de Kerr extrême (voir paragraphe 4.6).
A noter que si pour \(\bar{a}\) et \(i\) donnés, \(q(\bar{r}_c)=p(\bar{r}_c)=0\) alors ces égalités s’appliquent également pour \(\bar{a}=-\ \bar{a}\) et \(i=\pi-i\) ce qui montre une double symétrie : \(\bar{a}\) par rapport à \(0\) et \(i\) par rapport à \(\frac{\pi}{2}\) qui est la symétrie suivant \(\varphi\) vue précédemment au paragraphe 2.3.
Se référer au paragraphe 4.7 pour la discussion de la stabilité des orbites en perturbation radiale.

Expression des 3 équations paramétriques \(\frac{d\theta}{d\lambda}\), \(\frac {d\varphi}{d\lambda}\) et \(\frac {dct}{d\lambda}\)

En remplaçant \(Q\) et \(l_z\) par leur valeurs respective \(l^2\sin^2i\) et \(l\cos i\), et avec \(b_{crit}=c\frac{l}{\varepsilon}\), les équations (2.p), (2.q) et (2.u) s’écrivent :
\(\left(\frac{d\theta}{d\lambda}\right)^2=\left(b_{crit}^2\left(1-\frac{\cos^2i}{\sin^2\theta}\right)+a^2\cos^2\theta\right)\frac{\varepsilon^2}{\Sigma^2 c^2}\hspace{2cm}\)(4.c),
\(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\left(2mar_c+(\Sigma-2mr_c)b_{crit}\frac{\cos i}{sin^2\theta}\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma}\),
\(\frac{dct}{d\lambda}=\left((r_c^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta-2mar_c\ b_{crit}\cos i\right)\frac{\varepsilon}{c\Delta\Sigma}\),
avec \(r_c\) valeur de la coordonnée radiale constante.

Orbites remarquables

Orbites équatoriales

Les orbites équatoriales sont obtenues lorsque le moment cinétique du photon \(\overrightarrow{l}\) est parallèle à l’axe de rotation du trou noir (\(i=0\) ou \(i=\pi\)), ce qui donne une trajectoire du photon dans le plan équatorial du trou noir.
En appliquant \(i=0\) ou \(i=\pi\) soit \(\sin^2i=0\) dans (4.b), il vient avec \(u=\bar{a}^2\) :
\(p(\bar{r})=\bar{r}^3(\bar{r}^3-6\bar{r}^2+9\bar{r}-4u)=0\) soit
la solution triviale \(\bar{r}=0\) (singularité centrale ou annulaire) et \(\bar{r}^3-6\bar{r}^2+9\bar{r}-4u=0\)
(ou \(Q=l^2\sin^2i=0\)).
Avec le changement de variable \(\bar{r}=x+2\), cette équation du 3ème degré se réduit à :
\(x^3-3x+2-4u=0\hspace{2cm}\)(4.d).
En utilisant la méthode de Cardan, le discriminant de (4.d) \(D=-(4A^3+27B^2)\) avec \(A=-3\) et \(B=2-4u\) vaut \(432u(1-u)\) et en considérant que \(u\in[0,1]\), 2 cas sont à distinguer :
– \(u=0\) ou \(u=1\Rightarrow D=0\) et (4.d) admet donc 3 solutions réelles \(\frac{3B}{A}\) et \(-\frac{3B}{2A}\) (racine double) ce qui donne :
pour \(u=0\) : \(\bar{r}_1=0\) solution triviale (singularité centrale) et \(\bar{r}_2=\bar{r}_0=3\) (solution de Schwarzschild),
pour \(u=1\) : \(\bar{r}_0=4\) et \(\bar{r}_1=\bar{r}_2=1\).
– \(u\in ]0,1[\Rightarrow D>0\) et (4.d) admet donc 3 solutions réelles distinctes :
\(x_k=2\sqrt{\frac{-A}{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(\frac{3B}{2A}\sqrt{\frac{3}{-A}}\right)+\frac{2k\pi}{3}\right)\) avec \(k\in\) {0,1,2},
ce qui donne, en remplaçant \(A\) et \(B\) par leur valeur respective :
\(\bar{r}_0=2+2\cos\left({1\over 3}\arccos\left(2u-1\right)\right)\),
\(\bar{r}_1=2+2\cos\left({1\over 3}\arccos\left(2u-1\right)+\frac{2\pi}{3}\right)\),
\(\bar{r}_2=2+2\cos\left({1\over 3}\arccos\left(2u-1\right)+\frac{4\pi}{3}\right)\),
avec \(0\lt\bar{r}_1\le 1\le\bar{r}_2\le 3\le\bar{r}_0\le 4\), et
avec \(\bar{r}_1\) et \(\bar{r}_2\) orbites progrades (\(i=0\)), et \(\bar{r}_0\) orbite rétrograde (\(i=\pi\)).
Note : les formules ci-dessous donnent les mêmes résultats :
\(\bar{r}_0=2+2\cos\left(\frac{2}{3}\arccos(\bar{a})\right)\)^{6 7},
\(\bar{r}_1=4\sin^2\left(\frac{1}{3}\arcsin(\bar{a})\right)\)⁸,
\(\bar{r}_2=2+2\cos\left(\frac{2}{3}\arccos(-\bar{a})\right)\)^{9 10}.

Orbites polaires

Les orbites polaires sont obtenues lorsque le moment cinétique du photon \(\overrightarrow{l}\) est orthogonal à l’axe de rotation du trou noir (\(i=\frac{\pi}{2}\)), ce qui donne une trajectoire passant par les 2 pôles. A noter qu’elles doivent satisfaire la condition \(V_\theta\ge 0\) quelle que soit la valeur de \(\theta\in]0,\pi[\), soit \(Q\ge 0\).
En appliquant \(i=\frac{\pi}{2}\) soit \(\sin^2i=1\) dans (4.b), il vient avec \(u=\bar{a}^2\) :
\(p(\bar{r})=(\bar{r}^3-3\bar{r}^2+u\bar{r}+u)^2=0\) (ou \(l_z=l\cos i=0\)).
Avec le changement de variable \(\bar{r}=x+1\), cette équation se réduit à :
\(x^3+(u-3)x+2u-2=0\hspace{2cm}\)(4.e).
En utilisant la méthode de Cardan, le discriminant de (4.e) \(D=-(4A^3+27B^2)\) avec \(A=u-3\) et \(B=2u-2\) vaut \(4u(-u^2-18u+27)\) et en considérant que \(u\in[0,1]\), 2 cas sont à distinguer :
– \(u=0\Rightarrow D=0\) et (4.e) admet donc 3 solutions réelles dont une double : \(x_0=\frac{3B}{A}\) et \(x_1=x_2=-\frac{3B}{2A}\) ce qui donne \(r_0=3\) (solution de Schwarzschild) et \(r_1=r_2=0\) solution triviale (singularité centrale),
– \(u\in ]0,1]\) : le signe de \(D\) est celui du polynôme \(-u^2-18u+27\) dont le discriminant réduit vaut \(108\), ce qui signifie que le polynôme admet 2 racines réelles : \(-9-\sqrt{108}=-9-6\sqrt{3}\) et \(-9+\sqrt{108}=-9+6\sqrt{3}\).
Il est facile de vérifier que \(u\) est compris entre ces 2 racines, ce qui indique que le polynôme est positif pour \(u\in ]0,1]\Rightarrow D>0\) et (4.e) admet donc 3 solutions réelles distinctes :
\(x_k=2\sqrt{\frac{-A}{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(\frac{3B}{2A}\sqrt{\frac{3}{-A}}\right)+\frac{2k\pi}{3}\right)\) avec \(k\in\) {0,1,2},
ce qui donne, en remplaçant \(A\) et \(B\) par leur valeur respective :
\(\bar{r}_0=1+2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(\frac{1-u}{\left(1-\frac{u}{3}\right)^\frac{3}{2}}\right)\right)\), qui satisfait la condition \(Q\ge 0\),
\(\bar{r}_1=1+2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(\frac{1-u}{\left(1-\frac{u}{3}\right)^\frac{3}{2}}\right)+\frac{2\pi}{3}\right)<0\Rightarrow\) solution non acceptable puisque la coordonnée radiale du photon est positive ou nulle, et
\(\bar{r}_2=1+2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(\frac{1-u}{\left(1-\frac{u}{3}\right)^\frac{3}{2}}\right)+\frac{4\pi}{3}\right)\), qui ne peut être retenue car entraîne une valeur négative de \(Q\),
et avec \(\bar{r}_1\lt 0\lt\bar{r}_2\le1\le\bar{r}_0\le 3\).
Note : la formule ci-dessous donne le même résultat pour \(\bar{r}_2\)
\(\bar{r}_2=1-2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\sin\left({1\over 3}\arcsin\left(\frac{1-u}{\left(1-\frac{u}{3}\right)^\frac{3}{2}}\right)\right)\)¹¹.

Orbites avec mouvement vertical à l’équateur

Lorsque \(\theta\) vaut \(\frac{\pi}{2}\), le numérateur de \(\frac{d\varphi}{d\lambda}\) s’annule si \(\frac{b_{crit}}{m}\cos i\) soit \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=\frac{2a}{2m-r_c}=\frac{2\bar{a}}{2-\bar{r}_c}\), ce qui signifie que la trajectoire du photon traverse verticalement le plan équatorial.
En remplaçant \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) par sa valeur vue plus haut \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-\frac{(\bar{r}_c^3-3\bar{r}_c^2+\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2)}{\bar{a}(\bar{r}_c-1)}\) et en remarquant la factorisation par \(\bar{r}_c-3\), il est obtenu après regroupements et simplification \(\frac{d\varphi}{d\lambda}_{\theta=\frac{\pi}{2}}=\frac{3-\bar{r}_c}{\bar{r}_c-1}\frac{1}{a}\frac{\varepsilon}{c}\).
\(\frac{d\varphi}{d\lambda}_{\theta=\frac{\pi}{2}}\) s’annule donc pour \(\bar{r}_c=3\) ce qui donne alors \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-2\bar{a}\) et comme vu plus haut \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}=-\frac{\bar{r}_c^3(\bar{r}_c^3-6\bar{r}_c^2+9\bar{r}_c-4\bar{a}^2)}{\bar{a}^2(\bar{r}_c-1)^2}=27\frac{4\bar{a}^2}{4\bar{a}^2}=27\), et ceci quelle que soit la valeur du paramètre de Kerr \(\bar{a}\).
L’effet Lense-Thiring vu au paragraphe 3.2 annule précisément à l’équateur le mouvement rétrograde du photon.
Le cas spécifique du trou noir de Schwarzschild se retrouve avec \(\bar{a}=0\) soit \(\frac{b_{crit}}{m}=\frac{cl}{m\varepsilon}=\sqrt{\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}+\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}}=\sqrt{27}\) et \(r_c=3m=\frac{3}{2}r_s\) avec \(r_s=\frac{2GM}{c^2}\).

Paramètre critique d’impact

Comme vu au paragraphe 4.1, la valeur de \(i\) détermine la coordonnée radiale sans dimension \(\bar{r}_c\) de l’orbite du photon et le paramètre critique d’impact \(b=c\frac{l}{\varepsilon}\) relatif aux géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr peut être calculé par les formules suivantes :
\(\frac{b_{crit}}{m}=\bar{b}_{crit}=\sqrt{\frac{3\bar{r}_c^4+\bar{a}^2\bar{r}_c^2}{\bar{r}_c^2-\bar{a}^2\sin^2i}}\) avec \(\bar{r}_c^2>\bar{a}^2\sin^2i\), voir calcul au paragraphe 4.6
ou
\(\frac{b_{crit}}{m}=\bar{b}_{crit}=\sqrt{\frac{2\bar{r}_c^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r}_c^2+2\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2}{(\bar{r}_c-1)^2}}\) pour \(\bar{r}_c\ne 1\) et en utilisant l’expression de \(\frac{cl}{m\varepsilon}\) donnée au paragraphe 4.1.

Colatitude limite

D’après (4.c), \(\frac{d\theta}{d\lambda}\) est nul pour \(a^2\cos^2\theta+b_{crit}^2\left(1-\frac{\cos^2i}{\sin^2\theta}\right)=0\) ce qui s’écrit après développement et en valeurs sans dimension :
\(-\bar{a}^2\cos^4\theta-(\bar{b}_{crit}^2-\bar{a}^2)\cos^2\theta+\bar{b}_{crit}^2\sin^2i=0\hspace{2cm}\)(4.f).
Le membre de gauche de (4.f) est un polynôme du 2ème degré en \(\cos^2\theta\) qui admet une racine positive \(\cos^2\theta_{lim}=\frac{\bar{a}^2-\bar{b}_{crit}^2+\sqrt{\left(\bar{a}^2-\bar{b}_{crit}^2\right)^2+4\bar{a}^2\bar{b}_{crit}^2\sin^2i}}{2\bar{a}^2}\) et il est positif ou nul pour \(\cos^2\theta\in [0,\cos^2\theta_{lim}]\).
Les orbites du photon ont donc une colatitude \(\theta\) qui reste comprise dans l’intervalle \([\theta_{lim},\pi-\theta_{lim}]\) avec \(\cos\theta_{lim}=\sqrt{\frac{\bar{a}^2-\bar{b}_{crit}^2+\sqrt{\left(\bar{a}^2-\bar{b}_{crit}^2\right)^2+4\bar{a}^2\bar{b}_{crit}^2\sin^2i}}{2\bar{a}^2}}\hspace{2cm}\)(4.g).
Dans le cas des orbites polaires, \(i=\frac{\pi}{2}\) et (4.g) devient :
\(\cos\theta_{lim}=\sqrt{\frac{\bar{a}^2-\bar{b}_{crit}^2+\sqrt{(\bar{a}^2+\bar{b}_{crit}^2)^2}}{2\bar{a}^2}}=1\) ce qui confirme que la colatitude \(\theta\) d’une orbite polaire est définie sur \(]0,\pi[\).
Après remplacement de \(\bar{b}_{crit}^2\) et \(\bar{b}_{crit}^2\sin^2i\) par leur valeur respective \(\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}\) et \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) vues plus haut, (4.g) peut-être exprimée en une fonction de \(\bar{r}_c\) et de \(\bar{a}\) :
\(\cos\theta_{lim}=\sqrt{\frac{\bar{r}_c(-\bar{r}_c^3+3\bar{r}_c-2\bar{a}^2+2\sqrt{2\bar{r}_c^5-7\bar{r}_c^3+6\bar{r}_c^2+2\bar{a}^2(\bar{r}_c^2-\bar{r}_c- 1)+\bar{a}^4})}{\bar{a}^2(\bar{r}_c-1)^2}}\).
Pour un trou noir de Kerr extrême, la fonction se simplifie en
\(\cos\theta_{lim}=\sqrt{-\bar{r}_c^2+2\bar{r}_c(\sqrt{2\bar{r}_c+1}-1)}\).

Etablissement des équations caractéristiques

Calcul de \(c\frac{l_z}{\varepsilon}\), \(c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}\) et \(c\frac{l}{\varepsilon}\)
La dérivation par rapport à \(r\) de (2.i) donne \(\frac{dV_r}{dr}=4r\frac{\varepsilon}{c}\left((r^2+a^2)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right)-2(r-m)\left((a\frac{\varepsilon}{c}-l_z)^2+Q\right)\),
et la condition \(\frac{dV_r}{dr}=0\) s’écrit alors :
\((a\frac{\varepsilon}{c}-l_z)^2+Q=\frac{2r}{r-m}\frac{\varepsilon}{c}\left((r^2+a^2)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right)\hspace{2cm}\)(4.h) ou
\((r^2+a^2)\frac{\varepsilon}{c}-al_z=\frac{r-m}{2r}\frac{c}{\varepsilon}\left((a\frac{\varepsilon}{c}-l_z)^2+Q\right)\hspace{2cm}\)(4.i).
La condition \(V_r=0\) donne avec (2.i) en remplaçant \((a\frac{\varepsilon}{c}-l_z)^2+Q\) par sa valeur donnée par (4.h) :
\(\left((r^2+a^2)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right)\left((r^2+a^2)\frac{\varepsilon}{c}-al_z-\frac{2r}{r-m}\frac{\varepsilon}{c}(r^2-2mr+a^2)\right)=0\), soit 2 solutions :
\((r^2+a^2)\frac{\varepsilon}{c}-al_z=0\) ou
\((r^2+a^2)\frac{\varepsilon}{c}-al_z-\frac{2r}{r-m}\frac{\varepsilon}{c}(r^2-2mr+a^2)=0\) qui donne après développement :
\(c\frac{l_z}{\varepsilon}=-\frac{(r^3-3mr^2+a^2r+ma^2)}{a(r-m)}\) ou \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-\frac{(\bar{r}_c^3-3\bar{r}_c^2+\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2)}{\bar{a}(\bar{r}_c-1)}\hspace{2cm}\)(4.j).
La même condition \(V_r=0\) donne avec (2.i) en remplaçant \((r^2+a^2)\frac{\varepsilon}{c}-al_z\) par sa valeur donnée par (4.i) :
\(\left(\left(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right)^2+Q\right)\left(\left(\frac{r-m}{2r}\right)^2\frac{c^2}{\varepsilon^2}\left(\left(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right)^2+Q\right)-(r^2-2mr+a^2)\right)=0\), soit 2 solutions :
\(\left(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right)^2+Q=0\) ou
\(\left(\frac{r-m}{2r}\right)^2\frac{c^2}{\varepsilon^2}\left(\left(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right)^2+Q\right)-(r^2-2mr+a^2)=0\) qui donne après développement, en remplaçant \(c\frac{l_z}{\varepsilon}\) par sa valeur donnée par (4.j) :
\(c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}=-\frac{r^3(r^3-6mr^2+9m^2r-4ma^2)}{a^2(r-m)^2}\) ou \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}=-\frac{\bar{r}_c^3(\bar{r}_c^3-6\bar{r}_c^2+9\bar{r}_c-4\bar{a}^2)}{\bar{a}^2(\bar{r}_c-1)^2}\hspace{2cm}\)(4.k).
Note : la 1ère solution vue plus haut \((r^2+a^2)\frac{\varepsilon}{c}-al_z=0\) et \(\left(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right)^2+Q=0\) donne \(c\frac{l_z}{\varepsilon}=\frac{r^2+a^2}{a}\) et \(c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}=-\frac{r^4}{a^2}\), et le membre de gauche de la condition (3.b) applicable si \(Q<0\) vaut alors \(a^2-(\frac{r^2+a^2}{a})^2+\frac{r^4}{a^2}\) soit \(-2r^2\) ce qui montre que la condition n’est pas satisfaite : la solution \(c\frac{l_z}{\varepsilon}=\frac{r^2+a^2}{a}\) et \(c^2\frac{Q}{\varepsilon}^2=-\frac{r^4}{a^2}\) ne peut être retenue.
\(l=\sqrt{l_z^2+Q}\) et (4.j) et (4.k) donnent alors après regroupement : \(c\frac{l}{\varepsilon}=\sqrt{\frac{2r^4+(a^2-6m^2)r^2+2ma^2r+m^2a^2}{(r-m)^2}}\) ou \(\frac{cl}{m\varepsilon}=\sqrt{\frac{2\bar{r}_c^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r}_c^2+2\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2}{(\bar{r}_c-1)^2}}\hspace{2cm}\)(4.l).
Pour un trou noir de Kerr extrême, les formules (4.j), (4.k) et (4.l) se simplifient et peuvent s’écrire :
\(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=\bar{a}\left(2-(\bar{r}_c-1)^2\right)\), \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}=\bar{r}_c^3(4-\bar{r}_c)\) et \(\frac{cl}{m\varepsilon}=\sqrt{2(\bar{r}_c+1)^2-1}\).
Pour \(\bar{r}_c=1\) qui n’existe que pour un trou noir de Kerr extrême, les conditions \(V_r=0\) et \(\frac{dV_r}{dr}=0\) conduisent à \(\lim_{\bar{r}_c\to 1}\frac{cl_z}{m\varepsilon}=2\bar{a}\) quelle que soit la valeur de \(Q\) qui peut être négative, nulle ou positive.

Calcul des équations caractéristiques
L’équation (2.i) s’écrit avec \(l_z=l\cos i\), \(Q=l^2\sin^2i\) et \(b=c\frac{l}{\varepsilon}\) :
\(V_r=\frac{\varepsilon^2}{c^2}\left(r^4+(a^2-b^2)r^2+2m(a^2-2ab\cos i+b^2)r-a^2b^2\sin^2i\right)\hspace{2cm}\)(4.m),
et la dérivation par rapport à \(r\) donne :
\(\frac{dV_r}{dr}=\frac{\varepsilon^2}{c^2}\left(4r^3+2(a^2-b^2)r+2m(a^2-2ab\cos i+b^2)\right)\).
La condition \(\frac{dV_r}{dr}=0\) s’écrit alors :
\(2m(a^2-2ab\cos i+b^2)=-4r^3-2(a^2-b^2)r\hspace{2cm}\)(4.n).
La condition \(V_r=0\) donne avec (4.m) en remplaçant \(2m(a^2-2ab\cos i+b^2)\) par sa valeur donnée par (4.n) :
\(3r^4+(a^2-b^2)r^2+a^2b^2\sin^2i=0\) soit
\(b^2=\frac{3r^4+a^2r^2}{r^2-a^2\sin^2i}\hspace{2cm}\)(4.o).

Equation en \(r^5\)
En remplacant dans (4.n) \(b\) par sa valeur donnée par (4.o), nous obtenons :
\(\left(2r^3+a^2(r+m)\right)(r^2-a^2\sin^2i)-(r-m)(3r^4+a^2r^2)\)
\(-2ma\cos i\sqrt{(3r^4+a^2r^2)(r^2-a^2\sin^2i)}=0\) soit après développement
\(r^5-3mr^4+2a^2\sin^2i\ r^3-2ma^2r^2+a^4\sin^2i\ r+ma^4\sin^2i\)
\(+2ma\cos i\ r\sqrt{3r^4+(1-3\sin^2i)a^2r^2-a^4\sin^2i}=0\) ou
\(\bar{r}^5-3\bar{r}^4+2\bar{a}^2\sin^2i\ \bar{r}^3-2\bar{a}^2\bar{r}^2+\bar{a}^4\sin^2i\ \bar{r}+\bar{a}^4\sin^2i\)
\(+2\bar{a}\cos i\ \bar{r}\sqrt{3\bar{r}^4+(1-3\sin^2i)\bar{a}^2\bar{r}^2-\bar{a}^4\sin^2i}=0\).

Equation en \(r^6\)
\(b^2=c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\) donne en remplaçant \(b^2\) par sa valeur (4.o) et \(c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\) par sa valeur (4.l) :
\(\frac{3r^4+a^2r^2}{r^2-a^2\sin^2i}=\frac{2r^4+(a^2-6m^2)r^2+2ma^2r+m^2a^2}{(r-m)^2}\) qui donne après développement :
\(r^6-6mr^5+(9m^2+2a^2\sin^2i)r^4-4ma^2r^3-a^2\sin^2i(6m^2-a^2)r^2\)
\(+2ma^4\sin^2i\ r+m^2a^4\sin^2i=0\) ou
\(\bar{r}^6-6\bar{r}^5+(9+2\bar{a}^2\sin^2i)\bar{r}^4-4\bar{a}^2\bar{r}^3-\bar{a}^2\sin^2i(6-\bar{a}^2)\bar{r}^2\)
\(+2\bar{a}^4\sin^2i\ \bar{r}+\bar{a}^4\sin^2i=0\).

Critère de stabilité des orbites en perturbation radiale

Après développement de (2.i) :
\(\frac{c^2}{\varepsilon^2}V_r=r^4+\left(a^2-c^2\frac{l_z^2}{\varepsilon^2}-c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}\right)r^2+2m\left(\left(a-c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)^2+c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}\right)r-a^2c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}\),
d’où \(\frac{c^2}{\varepsilon^2}\frac{dV_r}{dr}=4r^3+2\left(a^2-c^2\frac{l_z^2}{\varepsilon^2}-c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}\right)r+2m\left(\left(a-c\frac{l_z}{\varepsilon}\right)^2+c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}\right)\),
ce qui donne
\(\frac{c^2}{\varepsilon^2}\frac{d^2V_r}{dr^2}=12r^2+2\left(a^2-c^2\frac{l_z^2}{\varepsilon^2}-c^2\frac{Q}{\varepsilon^2}\right)\).
En utilisant les paramètres et variables sans dimension et en remplaçant \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) et \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) par leur valeur respective (4.j) et (4.k), il vient après développement pour une orbite de coordonnée radiale \(\bar{r}_c\) :
\(\frac{c^2}{\varepsilon^2m^4}\frac{d^2V_r}{dr^2}=\frac{8\bar{r}_c}{(\bar{r}_c-1)^2}(\bar{r}_c^3-3\bar{r}_c^2+3\bar{r}_c-\bar{a}^2)=\frac{8\bar{r}_c}{(\bar{r}_c-1)^2}\left(\left(\bar{r}_c-1\right)^3+1-\bar{a}^2\right)\) qui admet une seule racine réelle \(\bar{r}_{c_{stab}}=1-(1-\bar{a}^2)^{1/3}\).
Cette valeur \(\bar{r}_{c_{stab}}\) est inférieure ou égale à \(\bar{r}_{Cauchy}\) pour les trous noirs de Kerr et délimite la stabilité des orbites des photons :
– pour \(\bar{r}_c>\bar{r}_{c_{stab}}\), \(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) est \(>0\) et l’orbite est instable en perturbation radiale,
– pour \(\bar{r}_c<\bar{r}_{c_{stab}}\), \(\frac{d^2V_r}{dr^2}\) est \(<0\) et l’orbite est stable en perturbation radiale.
Dans ce dernier cas, toute variation de la coordonnée radiale \(r\) autour de \(r_c\) entraîne une valeur négative de \(V_r\), ce qui montre qu’un photon ne peut pas rejoindre cette orbite. Pour la parcourir, il doit être émis aux coordonnées \(r_{em}=r_c\) avec les valeurs \(l_z\) et \(Q\) correspondantes, et \(\theta_{em}\in [\theta_{lim},\pi-\theta_{lim}]\).

Inclinaisons et stabilités

La valeur \(\bar{r}_{c_{stab}}\) vue ci-dessus correspond à un angle d’inclinaison \(i_{stab}(\bar{a})=\arccos\frac{l_z}{\sqrt{l_z^2+Q}}\), les valeurs \(l_z\) et \(Q\) étant obtenues par (4.j) et (4.k) avec \(\bar{r}_c=\bar{r}_{c_{stab}}\).

Trou noir de Kerr extrême

Lorsque \(|\bar{a}|=1\), chaque valeur de l’angle d’inclinaison \(i\) détermine une et une seule valeur de \(\bar{r}_c\).
Quand le photon est très proche des horizons des évènements et de Cauchy \(\bar{r}_c\simeq 1\), les valeurs respectives de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) et de \(\frac{cl}{m\varepsilon}\) sont \(2\bar{a}\) et \(\sqrt{7}\), ce qui conduit à un angle d’inclinaison \(i_{stab}=\arccos\frac{2\bar{a}}{\sqrt{7}}\) soit \(\simeq 40,9^\circ\) si \(\bar{a}=1\), ou \(\simeq 139,1^\circ\) si \(\bar{a}=-1\).
Pour \(i<i_{stab}\) si \(\bar{a}=1\) ou \(>i_{stab}\) si \(\bar{a}=-1\), les orbites des photons sont stables et se situent à l’intérieur de l’horizon de Cauchy, c’est-à-dire avec une valeur \(\bar{r}_c\in[0,1[\). Dans le cas contraire, elles sont instables et à l’extérieur de l’horizon des évènements, avec \(\bar{r}_c\in ]1,4]\).

Autres trous noirs de Kerr

Lorsque la valeur de l’angle d’inclinaison \(i\) est inférieure à \(i_{stab}(\bar{a})\) si \(\bar{a}>0\), ou supérieure à \(i_{stab}(\bar{a})\) si \(\bar{a}<0\), il lui correspond 3 valeurs de \(r_c\) :
– une est supérieure à \(r_h\) soit une orbite des photons à l’extérieur de l’horizon des évènements et instable,
– une est comprise entre \(r_{stab}\) et \(r_{Cauchy}\) soit une orbite des photons à l’intérieur de l’horizon de Cauchy et instable (contrairement aux autres orbites, cette orbite a un angle \(\theta_{lim}\) croissant avec \(r_c\) si \(\bar{a}>0\), ou décroissant si \(\bar{a}<0\)),
– une est inférieure à \(r_{stab}\) soit une orbite des photons à l’intérieur de l’horizon de Cauchy et stable.
Pour \(i\) supérieur à \(i_{stab}(\bar{a})\) si \(\bar{a}>0\), ou inférieur à \(i_{stab}(\bar{a})\) si \(\bar{a}<0\), il existe une et une seule valeur de \(r_c\) qui est supérieure à \(r_h\) et l’orbite des photons se situe à l’extérieur de l’horizon des évènements et est instable.

Définition de \(Q\) fonction de \(l\) et \(i\)

En utilisant la valeur de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) au paragraphe 4.1, il vient :
\(\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}=\left (-\frac{(\bar{r}_c^3-3\bar{r}_c^2+\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2)}{\bar{a}(\bar{r}_c-1)}\right)^2\) soit \(\frac{\bar{r}_c^6-6\bar{r}_c^5+9\bar{r}_c^4-4\bar{a}^2\bar{r}_c^3}{\bar{a}^2(\bar{r}_c-1)^2}+\frac{2\bar{r}_c^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r}_c^2+2\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2}{(\bar{r}_c-1)^2}\) qui s’écrit avec la valeur de \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\) au paragraphe 4.1 :
\(\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}=-\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}+\frac{2\bar{r}_c^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r}_c^2+2\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2}{(\bar{r}_c-1)^2}\).
Par ailleurs, \(l_z=l\cos i\) donne \(\sin^2i=\frac{l^2-l_z^2}{l^2}\) soit en remplaçant \(l_z\) par sa valeur calculée ci-dessus :
\(\sin^2i=\frac{\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}+\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}-\left (\frac{2\bar{r}_c^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r}_c^2+2\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2}{(\bar{r}_c-1)^2}\right)}{\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}}\),
et en posant \(\frac{2\bar{r}_c^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r}_c^2+2\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2}{(\bar{r}_c-1)^2}=\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}\) x cte, il vient :
\(\sin^2i=\frac{Q}{l^2}+1\) – cte\(\hspace{2cm}\)(4.p).
Dans le cas particulier \(i=0\) et \(\theta=\frac{\pi}{2}\), la conservation de la valeur constante de \(i\) implique que la géodésique du photon reste dans le plan équatorial soit \(\frac{d\theta}{d\lambda}=0\).
Puisque comme vu plus haut \(\Sigma\frac{d\theta}{d\lambda}=\pm\sqrt{V_\theta}\), il vient \(V_{\theta}=0\) soit avec (2.j) \(Q=0\) et d’après (4.p), cte \(=1\).
Le remplacement de cte par sa valeur dans (4.p), donne alors \(Q=l^2\sin^2i\).

INTÉGRATION NUMÉRIQUE

L’intégration numérique permettant le calcul des géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr et de tracer les trajectoires correspondantes peut se faire à partir des équations paramétriques (intégration par rapport à un paramètre affine) ou à partir des dérivées temporelles (intégration par rapport au temps \(t\) d’un observateur statique).
Les tracés cartésiens sont faits ensuite avec les relations vues plus haut \(x=\sqrt{r^2+a^2}\cos\varphi\sin\theta\), \(y=\sqrt{r^2+a^2}\sin\varphi\sin\theta\) et \(z=r\cos\theta\).

Trajectoires

Paramètres affines

Les équations (2.o), (2.p), (2.q) et (2.r) écrites au paragraphe 2.3 font apparaître un paramètre affine \(\Lambda=\frac{\lambda\varepsilon}{\Sigma c}\), dépendant de \(\Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta\), et elles peuvent être intégrées suivant une valeur constante du pas affine \(\Lambda\).
Une autre solution pour intégrer les 4 équations paramétriques est de considérer le paramètre affine \(\Lambda=\frac{\lambda\varepsilon}{c}\) en divisant chacune des équations par \(\Sigma\) ce qui permet d’utiliser une valeur constante du pas affine ne comprenant pas la valeur \(\Sigma\).
En utilisant une méthode d’intégration simple de Runge-Kutta d’ordre 4, les 2 solutions donnent de bons résultats, l’intégration sur le pas affine incluant \(\Sigma\) donnant des résultats plus précis pour les faibles valeurs de la coordonnée radiale \(r\) tandis que l’intégration sur le pas affine ne comprenant pas \(\Sigma\) donne des résultats plus précis pour les grandes valeurs de \(r\).
Les meilleurs résultats sont obtenus logiquement avec un pas affine adaptatif (fixé par une précision souhaitée sur le calcul de \(r\)) et l’utilisation du pas affine adaptatif comprenant la valeur \(\Sigma\) évite de complexifier inutilement les calculs des 4 coefficients RK4.
Les conditions initiales à considérer sont explicitées plus haut au paragraphe 3.

Intégration temporelle

Les dérivées temporelles du 1er ordre \(\frac{dr}{dt},\frac{d\theta}{dt}\) et \(\frac{d\varphi}{dt}\) sont obtenues en divisant les équations (2.o), (2.p) et (2.q) par (2.r) et en les multipliant par \(c\), et elles peuvent être intégrées selon une méthode RK4 à pas constant.
Les conditions initiales à considérer sont les coordonnées du photon \((r_0, \theta_0, \varphi_0)\) et les signes initiaux de \(\frac{dr}{dt}\) et de \(\frac{d\theta}{dt}\).
Il est à noter que l’intégration temporelle ne permet pas de tracer les trajectoires des photons se situant entre l’horizon des évènements et l’horizon de Cauchy en raison du temps \(t\) de l’observateur extérieur qui n’est pas défini dans cette région.
Cependant, l’intégration temporelle reste intéressante pour tracer les trajectoires animées, suivant un pas de temps et un échantillonnage d’écriture des résultats à choisir pour ne pas alourdir inutilement les fichiers.

Orbites

Les solutions d’intégration discutées plus haut au paragraphe 5.1 s’appliquent aux 3 équations paramétriques du 1er ordre \(\frac{d\theta}{d\lambda}\), \(\frac{d\varphi}{d\lambda}\) et \(\frac{dt}{d\lambda}\) avec \(r=r_c=\) cte pour l’orbite d’un photon.
La solution utilisant le pas affine constant comprenant la valeur \(\Sigma\) est légèrement plus précise que celle sans la valeur \(\Sigma\), tandis que le pas adaptatif sur la coordonnée radiale n’apporte rien puisque \(r\) reste constant.
Enfin, comme vu plus haut au paragraphe 5.1.2, l’intégration temporelle est intéressante pour tracer les orbites animées suivant un pas de temps et un échantillonnage d’écriture des résultats à choisir pour ne pas alourdir inutilement les fichiers.

EXEMPLES DE TRAJECTOIRES ET D’ORBITES DE PHOTONS

Le calcul des géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr selon les paragraphes vus plus haut permet le tracé cartésien des trajectoires et des orbites, dont quelques exemples sont fournis dans ce paragraphe.

Photons arrivant de l’infini – exemples de quasi-capture

Trou noir de Kerr extrême \(\bar{a}=-1\)

Trou noir de Kerr extrême \(\bar{a}=1\)

Trou noir de Schwarzschild \(\bar{a}=0\) (trajectoires dans un plan \(\theta=\) cte)

« Sphères » de photons

Les tracés de ce paragraphe sont arbitrairement faits avec les conditions initiales \(\theta_0=\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{d\theta}{d\lambda}_0\ge 0\) et avec un nombre arbitraire d’oscillations sauf mention contraire.

Trou noir de Kerr extrême \(\bar{a}=1\)

Trou noir de Kerr extrême \(\bar{a}=1\) avec orbites à l’intérieur de l’horizon de Cauchy \(\bar{r}_c\lt 1\)

soit \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}<2\) et \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}<3\)

Quelques autres trous noirs de Kerr

Vues de dessus des figures pour \(\bar{r}_c\gt 1\)

Deux premières oscillations

Contours et enveloppes des orbites des photons autour des trous noirs de Kerr

L’orbite équatoriale \(\bar{r}_c=4\) est représentée par son diamètre \(4r_s=8m\).
Le tracé rouge est le contour de l’orbite \(\bar{r}_c=1\) et les tracés bleus sont les contours des orbites \(\bar{r}_c\lt 1\), le tracé \(\bar{r}_c=0\) correspondant à la singularité annulaire de diamètre \(r_s=2m\).
Les tracés verts et cyan sont les enveloppes dans le plan xz de toutes les orbites possibles (c’est-à-dire de coordonnée radiale sans dimension \(\bar{r}_c\) variant continûment de \(0\) à \(4\)).
Les régions (ergosphère externe, horizons des évènements et de Cauchy confondus et ergosphère interne) sont tracées en magenta.
A noter qu’à l’exception des photons avec moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) nul, aucun photon ne peut se situer dans la région délimitée par le tracé cyan.
Exemples d’enveloppes des orbites des photons autour de quelques trous noirs de Kerr :

POSITION DES ORBITES DES PHOTONS

En utilisant les formules des coordonnées radiales sans dimension des orbites équatoriales vues au paragraphe 4.3.1, il apparait que deux cas sont à distinguer pour la position des orbites des photons par rapport aux régions d’un trou noir de Kerr :
– pour \(|\bar{a}|\gt\frac{\sqrt{2}}{2}\), il existe 4 positions possibles d’orbites :
1) orbite entièrement en dehors de l’ergosphère externe,
2) orbite partiellement en dehors de l’ergosphère externe (pour \(\theta\) proche de \(\theta_{lim}\) ou \(\pi-\theta_{lim}\)) et partiellement entre l’ergosphère externe et l’horizon des évènements (pour \(\theta\) proche de \(\frac{\pi}{2}\)), nécessairement prograde (\(i<\frac{\pi}{2}\)) puisque les photons traversent l’ergosphère externe (voir exemple ci-dessous),
3) orbite entièrement entre l’ergosphère externe et l’horizon des évènements, et
4) orbite entièrement entre l’horizon de Cauchy et l’ergosphère interne.

– pour \(|\bar{a}|\lt\frac{\sqrt{2}}{2}\), il existe 2 positions possibles d’orbites :
1) orbite entièrement en dehors de l’ergosphère externe, et
2) orbite entièrement entre l’horizon de Cauchy et l’ergosphère interne.
Note : quelle que soit la valeur de \(|\bar{a}|\), il n’y a aucune orbite de photons traversant l’horizon des évènements ou l’horizon de Cauchy ou située entre les 2 horizons.

IMAGE APPARENTE D’UN TROU NOIR DE KERR (OMBRE)

Le calcul montre que l’image apparente d’un trou noir de Kerr est sensiblement plus grande que son horizon des évènements, et elle constitue pour un observateur extérieur une « ombre » sans aucune image d’étoile.

et \(\frac{\beta}{m}=\bar{\beta}=\pm\sqrt{\frac{-\bar{r}_c^3(\bar{r}_c^3-6\bar{r}_c^2+9\bar{r}_c-4\bar{a}^2)}{\bar{a}^2(\bar{r}_c-1)^2}+\cos\theta_0^2\left(\bar{a}^2-\left(\frac{-(\bar{r}_c^3-3\bar{r}_c^2+\bar{a}^2\bar{r}_c+\bar{a}^2)}{\bar{a}(\bar{r}_c-1)}\right)^2\frac{1}{\sin\theta_0^2}\right)}\),
avec \(\bar{r}_c\) coordonnées radiales sans dimension des orbites des photons variant entre une valeur \(\bar{r}_{c_{min}}\) et une valeur \(\bar{r}_{c_{max}}\).
La coordonnée céleste \(\varphi_{obs}\) de l’observateur situé à la colatitude \(\theta_0\) du trou noir peut être exprimée comme suit :
\(\sin\varphi_{obs}=\frac{\bar{r}_c^3-3\bar{r}_c^2+\bar{r}_c\bar{a}^2+\bar{a}^2+\bar{a}^2\sin^2\theta_0(\bar{r}_c-1)}{2\bar{a}\bar{r}_c\sin\theta_0\sqrt{\bar{r}_c^2-2\bar{r}_c+\bar{a}^2}}\) et les valeurs \(\bar{r}_{c_{min}}\) et \(\bar{r}_{c_{max}}\) sont solutions respectivement de \(\sin\varphi_{obs}=1\) et \(\sin\varphi_{obs}=-1\)¹³.
Pour un angle d’observation donné \(\theta_0\), les couples de valeurs \(\bar{\alpha}\) et \(\bar{\beta}\) s’obtiennent en faisant varier \(\bar{r}_c\) de \(\bar{r}_{c_{min}}\) à \(\bar{r}_{c_{max}}\).
Chaque contour est symétrique par rapport à l’axe horizontal et la valeur \(\alpha\) changeant de signe avec \(\bar{a}\), les contours sont symétriques par rapport à l’axe vertical pour deux valeurs opposées de \(\bar{a}\).

Calcul exact

La coordonnée céleste de l’observateur statique \(\theta_{obs}\) situé à une distance \(r_0\) d’un trou noir de Kerr peut être exprimée comme suit :
\(\sin\theta_{obs}=\frac{2\bar{r}_c\sqrt{\bar{r}_c^2-2\bar{r}_c+\bar{a}^2}\sqrt{\bar{r}_0^2-2\bar{r}_0+\bar{a}^2}}{\bar{r}_0^2\bar{r}_c-\bar{r}_0^2+\bar{r}_c^3-3\bar{r}_c^2+2\bar{r}_c\bar{a}^2}\)¹⁴ avec \(\bar{r}_0=\frac{r_0}{m}\).
La projection stéréographique dans un plan tangent à la sphère céleste de l’observateur au pôle \(\theta=0\) donne les coordonnées cartésiennes du contour apparent du trou noir dans ce plan :
\(x(\bar{r}_c)=-2\tan(\frac{\theta_{obs}}{2})\sin\varphi_{obs}\) et \(y(\bar{r}_c)=-2\tan(\frac{\theta_{obs}}{2})\cos\varphi_{obs}\)¹⁵.
Pour un angle d’observation \(\theta_0\) et une distance \(r_0\) donnés, les couples de valeurs \(x\) and \(y\) s’obtiennent en faisant varier \(\bar{r}_c\) de \(\bar{r}_{c_{min}}\) à \(\bar{r}_{c_{max}}\).
Chaque contour est symétrique par rapport à l’axe horizontal et la valeur \(\varphi_{obs}\) changeant de signe avec \(\bar{a}\), les contours sont symétriques par rapport à l’axe vertical pour deux valeurs opposées de \(\bar{a}\).

ESPACE-TEMPS DE KERR RAPIDE

L’espace-temps de Kerr est dit « rapide » lorsque \(|\bar{a}|\), valeur absolue du paramètre de Kerr, est supérieur à \(1\). Etant donné que l’existence physique d’un espace-temps de Kerr rapide est considéré en l’état actuel comme improbable, ce paragraphe est une description mathématique.

Objet de Kerr rapide

Un objet de Kerr rapide ne possédant pas d’horizon des évènements, il n’entre pas dans la catégorie des trous noirs et est directement observable (absence d’ombre).
Il possède une ergosphère externe et une ergosphère interne qui sont adjacentes et qui constituent donc une seule hypersurface, et sa singularité (cercle de rayon cartésien \(|a|\) ) est dite « nue » en raison de l’absence d’horizon des évènements.
La limite physique du paramètre de Kerr est obtenue pour une rotation propre entraînant un point de l’objet à la vitesse de la lumière dans le vide.
Formellement, il n’existe donc pas de limite mathématique supérieure de \(|a|\) si l’objet de Kerr rapide est réduit à un point matériel.

Équations paramétriques et trajectoires des photons

Toutes les équations des paragraphes 1 à 3 ci-dessus s’appliquent.

Photons arrivant de l’infini – exemples de quasi-capture

Condition sur \(Q\)

Pour les valeurs négatives de la constante de Carter \(Q\), la condition exprimée au paragraphe 3.5.2 \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}\ge -\bar{a}^2\) est un peu moins restrictive pour un objet de Kerr rapide.

Orbites des photons

Orbite équatoriale

(4.d) a pour discriminant \(D=432u(1-u)\) avec \(u=\bar{a}^2\) ce qui entraîne \(D<0\) quelle que soit la valeur \(|\bar{a}|>1\).
(4.d) admet donc une seule solution réelle \(x=\sqrt[3]{\frac{-B+\sqrt{\frac{-D}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-B-\sqrt{\frac{-D}{27}}}{2}}\), ce qui donne, en remplaçant \(x\), \(B\) et \(D\) par leur valeur respective :
\(\bar{r}_0=2+\sqrt[3]{2u-1+2\sqrt{u(u-1)}}+\sqrt[3]{2u-1-2\sqrt{u(u-1)}}\).
Note : pour une valeur \(|\bar{a}|\) donnée, \(\bar{r}_0\) est la coordonnée radiale sans dimension maximale \(\bar{r}_c\) des orbites des photons. Fonction croissante de \(u\), elle admet \(4\) pour minimum quand \(u=1\) ou \(|\bar{a}|=1\) et correspond à une orbite rétrograde (\(i=\pi\)).

Orbites polaires

(4.e) a pour discriminant \(D=4u(-u^2-18u+27)\) avec \(u=\bar{a}^2\), ce qui conduit à distinguer 3 cas :
– \(u\in ]1,-9+6\sqrt{3}[\ \Rightarrow D>0\) et (4.e) admet les 2 solutions réelles positives vues précédemment au paragraphe 4.3.2 et qui avec \(|\bar{a}|>1\) satisfont la condition \(Q\ge 0\) soit \(V_\theta\ge 0\) quelle que soit la valeur de \(\theta\in]0,\pi[\) :
\(\bar{r}_0=1+2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(\frac{1-u}{\left(1-\frac{u}{3}\right)^\frac{3}{2}}\right)\right)\), et
\(\bar{r}_2=1+2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(\frac{1-u}{\left(1-\frac{u}{3}\right)^\frac{3}{2}}\right)+\frac{4\pi}{3}\right)\),
avec \(1<\bar{r}_2<\sqrt{3}<\bar{r}_0<1+\sqrt{2}\).
– \(u=-9+6\sqrt{3}\ \Rightarrow D=0\) et (4.e) admet 3 solutions réelles dont une double : \(x_1=\frac{3B}{A}\) et \(x_2=x_0=-\frac{3B}{2A}\) ce qui donne, en remplaçant \(x\), \(A\) et \(B\) par leur valeur respective : \(\bar{r}_1=3-2\sqrt{3}\) qui ne peut être retenu car négatif, et \(\bar{r}_2=\bar{r}_0=\sqrt{3}\).
– \(u>-9+6\sqrt{3}\ \Rightarrow D<0\) et (4.e) admet une seule solution réelle \(x_1=\sqrt[3]{\frac{-B+\sqrt{\frac{-D}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-B-\sqrt{\frac{-D}{27}}}{2}}\), ce qui donne, en remplaçant \(x\) et \(B\) par leur valeur respective :
\(\bar{r}_1=1+\sqrt[3]{1-u+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{-D}{3}}}+\sqrt[3]{1-u-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{-D}{3}}}\) qui ne peut être retenu car négatif quelle que soit la valeur \(u>-9+6\sqrt{3}\) ou \(|\bar{a}|>\sqrt{-9+6\sqrt{3}}\),
ce qui montre que dans ce cas, il n’existe plus d’orbite polaire de photons.

Inclinaisons limites

En plus de l’angle d’inclinaison \(i_{stab}\) vu au paragraphe 4.8 correspondant à la limite de stabilité radiale \(\bar{r}_{c_{stab}}=1-(1-\bar{a}^2)^{1/3}\) supérieure à 1, il existe 2 autres angles \(i_{lim1}\) et \(i_{lim2}\) définis par \(\sin^2i_{lim}=\frac{1}{\bar{a}^2}\).
Ces 2 angles correspondent à une limite infinie de \(c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\) pour \(\bar{r}_c=1\) (voir équation (4.o)) et ils encadrent \(i_{stab}\) :
\(0\le i_{lim1}<i_{stab}<i_{lim2}=\pi-i_{lim1}\le\pi\).

Description des orbites

Dans ce paragraphe, \(\bar{r}_0\) est la coordonnée radiale constante sans dimension de l’orbite équatoriale.

\(\bar{a}>1\) (rotation propre trigonométrique) :
– pour un angle d’inclinaison \(i\) variant de \(0\) à \(i_{lim1}\), il existe une orbite de photons avec \(\bar{r}_c\) qui croît de \(0\) à \(1\),
– il n’existe pas d’orbite de photons avec un angle d’inclinaison \(i\in[i_{lim1}, i_{stab}]\),
– pour un même angle d’inclinaison \(i\) variant de \(i_{stab}\) à \(i_{lim2}\), il existe 2 séries d’orbites de photons :
une série avec \(\bar{r}_c\) qui décroît de \(\bar{r}_{c_{stab}}\) à \(1\),
une série avec \(\bar{r}_c\) qui croît de \(\bar{r}_{c_{stab}}\) à \(\bar{r}_{c_{lim2}}\),
– enfin, pour un angle d’inclinaison \(i\) variant de \(i_{lim2}\) à \(\pi\), il existe une orbite de photons avec \(\bar{r}_c\) qui croît de \(\bar{r}_{c_{lim2}}\) à \(\bar{r}_0\).

\(\bar{a}<-1\) (rotation propre horaire) :
– pour un angle d’inclinaison \(i\) variant de \(0\) à \(i_{lim1}\), il existe une orbite de photons avec \(\bar{r}_c\) qui décroît de \(\bar{r}_0\) à \(\bar{r}_{c_{lim1}}\),
– pour un même angle d’inclinaison \(i\) variant de \(i_{lim1}\) à \(i_{stab}\), il existe 2 séries d’orbites de photons :
une série avec \(\bar{r}_c\) qui croît de \(1\) à \(\bar{r}_{c_{stab}}\),
une série avec \(\bar{r}_c\) qui décroît de \(\bar{r}_{c_{lim1}}\) à \(\bar{r}_{c_{stab}}\),
– il n’existe pas d’orbite de photons avec un angle d’inclinaison \(i\in[i_{stab}, i_{lim2}]\),
– enfin, pour un angle d’inclinaison \(i\) variant de \(i_{lim2}\) à \(\pi\), il existe une orbite de photons avec \(\bar{r}_c\) qui décroît de \(1\) à \(0\).

Exemples de « sphères » de photons

Les tracés ci-dessous sont arbitrairement faits avec les conditions initiales \(\theta_0=\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{d\theta}{d\lambda}_0>0\) et avec un nombre arbitraire d’oscillations sauf mention contraire.

Exemples d’orbites polaires externe et interne pour un même paramètre de Kerr

« Dernière » orbite polaire

Exemple de 2 orbites pour un même paramètre de Kerr et un même angle d’inclinaison

1. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
2. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
3. https://www.roma1.infn.it/teongrav/onde19_20/geodetiche_Kerr.pdf ↩︎
4. https://www.roma1.infn.it/teongrav/onde19_20/geodetiche_Kerr.pdf ↩︎
5. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
6. https://arxiv.org/abs/1210.2486 ↩︎
7. https://arxiv.org/pdf/2009.07012.pdf ↩︎
8. https://arxiv.org/pdf/2009.07012.pdf ↩︎
9. https://arxiv.org/abs/1210.2486 ↩︎
10. https://arxiv.org/pdf/2009.07012.pdf ↩︎
11. https://arxiv.org/pdf/2009.07012.pdf ↩︎
12. https://arxiv.org/pdf/2105.07101 ↩︎
13. https://arxiv.org/pdf/2105.07101 ↩︎
14. https://arxiv.org/pdf/2105.07101 ↩︎
15. https://arxiv.org/pdf/2105.07101 ↩︎