GRAVITATION

DÉFINITION

Le calcul de la déviation de la lumière par les trous noirs de Kerr peut être fait à partir de la matrice du tenseur métrique de Kerr exprimée dans le système de coordonnées de Boyer-Lindquist \((ct, r, \varphi, \theta)\) :
\((g_{\mu\nu})=\pmatrix{-1+\frac{2mr}{\Sigma}&0&0&-\frac{2mar\sin^2\theta}{\Sigma}\\0&\frac{\Sigma}{\Delta}&0&0\\0&0&\Sigma&0\\-\frac{2mar\sin^2\theta}{\Sigma}&0&0&\left(r^2+a^2+\frac{2ma^2r\sin^2\theta}{\Sigma}\right)\sin^2\theta}\)¹
avec \(r\) coordonnée radiale du photon, \(\theta\) sa colatitude, \(G\) constante gravitationnelle, \(c\) vitesse de la lumière dans le vide, \(M\) masse du trou noir, \(m=\frac{GM}{c^2}\) masse réduite homogène au mètre, \(a=\frac{J}{cM}\) (\(\gt 0\) pour une rotation du trou noir dans le sens trigonométrique, \(\lt 0\) pour le sens horaire) avec \(J\) moment cinétique de rotation du trou noir, \(\Delta=r^2-2mr+a^2\) et \(Σ=r^2+a^2\cos^2{\theta}\).
Les coefficients de \((g_{\mu\nu})\) sont indépendants de \(t\) et de \(\varphi\) : la géométrie de l’espace-temps de Kerr est donc stationnaire et à symétrie axiale.
Les géodésiques des photons étant du genre lumière, leur longueur est nulle² et le produit scalaire d’un déplacement élémentaire d’un photon \(\overrightarrow{ds}\) dans l’espace-temps de Kerr s’écrit
\(g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu=ds^2=(1-\frac{2mr}{\Sigma})c^2dt^2-\frac{4mar\sin^2{\theta}}{\Sigma}cdtd\varphi+\frac{\Sigma}{\Delta}dr^2+\Sigma d\theta^2\)
\(+(r^2+a^2+\frac{2ma^2r\sin^2{\theta}}{\Sigma})\sin^2{\theta}d\varphi^2=0\)

ÉTABLISSEMENT DES ÉQUATIONS PARAMÉTRIQUES

En suivant l’approche d’Hamilton-Jacobi, il s’agit de trouver \(S(x^\mu, \lambda)\), fonction des coordonnées du photon (\(x^\mu)=(ct, r, \theta, \varphi)\) et d’un paramètre affine \(\lambda\), et solution de l’équation d’Hamilton-Jacobi \(H\left (x^\mu,\frac{\delta S}{\delta x^\mu}\right )+\frac{\delta S}{\delta\lambda}=0\)³.
Il peut être montré que si \(S\) est solution alors \(\frac{\delta S}{\delta x^\mu}=p_\mu\) avec (\(p_\mu\)) moment conjugué du photon.
La conservation de l’énergie \(\varepsilon\) et de la norme du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) tout au long du mouvement du photon donne \(p_0=-\frac{\varepsilon}{c}\) et \(p_\varphi=l_z\), composante du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) sur l’axe de rotation du trou noir, ce qui conduit à une fonction du type :
\(S=-\frac{\varepsilon}{c} ct+S^{(r)}(r)+S^{(\theta)}(\theta)+l_z\varphi\hspace{2cm}\)(2.a) en recherchant une solution séparable en \(r\) et en \(\theta\).⁴
L’inverse de la matrice du tenseur métrique de Kerr est :
\((g^{\mu\nu})=\pmatrix{-\frac{(r^2+a^2)^2}{\Sigma\Delta}+\frac{a^2\sin^2\theta}{\Sigma}&0&0&-\frac{2mar}{\Sigma\Delta}\\0&\frac{\Delta}{\Sigma}&0&0\\0&0&\frac{1}{\Sigma}&0\\-\frac{2mar}{\Sigma\Delta}&0&0&\frac{1}{\Sigma\sin^2\theta}-\frac{a^2}{\Sigma\Delta}}\)⁵
et le hamiltonien s’écrit \(H=\frac{1}{2}g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu\), avec (\(p_\mu\)) moment conjugué \((-\frac{\varepsilon}{c},\frac{dS(r)}{dr},\frac{dS(\theta)}{d\theta},l_z)\), soit :
\(H=\frac{1}{2}\left [\left (-\frac{(r^2+a^2)^2}{\Sigma\Delta}+\frac{a^2\sin^2\theta}{\Sigma}\right )\frac{\varepsilon^2}{c^2}+\frac{4mar}{\Sigma\Delta}\frac{\varepsilon}{c}l_z+\frac{\Delta}{\Sigma}(\frac{dS^{(r)}}{dr})^2+\frac{1}{\Sigma}(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta})^2+\left (\frac{1}{\Sigma\sin^2\theta}-\frac{a^2}{\Sigma\Delta}\right )l_z^2\right ]=0\hspace{2cm}\)(2.b)
dans l’espace-temps de Kerr car les géodésiques des photons sont du genre lumière.
De plus \((\frac{dx}{d\lambda})^\mu=\frac{\delta H}{\delta p_\mu}\hspace{2cm}\)(2.c)

Équations paramétriques de \(r\) et de \(\theta\)

Après multiplication par \(2\Sigma\), l’équation (2.b) peut se mettre sous la forme :
\(-\Delta (\frac{dS^{(r)}}{dr})^2+\frac{(r^2+a^2)^2}{\Delta}\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{4mar}{\Delta}\frac{\varepsilon}{c} l_z+\frac{a^2l_z^2}{\Delta}=(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta})^2+a^2\sin^2\theta\frac{\varepsilon^2}{c^2}+\frac{l_z^2}{\sin^2\theta}\)
et en retranchant \(a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}+l_z^2\) à chaque membre :
\(-\Delta (\frac{dS^{(r)}}{dr})^2+\frac{(r^2+a^2)^2}{\Delta}\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{4mar}{\Delta}\frac{\varepsilon}{c} l_z+\frac{a^2l_z^2}{\Delta}-a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}-l_z^2=(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta})^2-a^2\cos^2\theta\frac{\varepsilon^2}{c^2}+\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}l_z^2\hspace{2cm}\)(2.d)
Le membre de gauche de l’équation (2.d) ne dépend pas de \(\theta\) et le membre de droite ne dépend pas de \(r\), ce qui implique qu’ils gardent une valeur constante \(Q\) et donne les 2 équations :
\(-\Delta (\frac{dS^{(r)}}{dr})^2+\frac{(r^2+a^2)^2}{\Delta}\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{4mar}{\Delta}\frac{\varepsilon}{c} l_z+\frac{a^2l_z^2}{\Delta}-a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}-l_z^2=Q\hspace{2cm}\)(2.e)
\((\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta})^2-a^2\cos^2\theta\frac{\varepsilon^2}{c^2}+\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}l_z^2=Q\hspace{2cm}\)(2.f)
En remarquant que \(2a-2a\frac{r^2+a^2}{\Delta}=-\frac{4mar}{\Delta}\), l’équation (2.e) devient :
\(-\Delta (\frac{dS^{(r)}}{dr})^2+\frac{\left (\left(r^2+a^2\right )\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right )^2}{\Delta}-(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z)^2=Q\), ce qui donne les 2 équations :
\(\Delta (\frac{dS^{(r)}}{dr})^2=\frac{\left (\left(r^2+a^2\right )\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right )^2}{\Delta}-(a\frac{\varepsilon}{c}-l_z)^2-Q\hspace{2cm}\)(2.g)
\((\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta})^2=Q+\cos^2\theta(a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{l_z^2}{\sin^2\theta})\hspace{2cm}\)(2.h)
En posant
\(V_r=\left (\left(r^2+a^2\right )\frac{\varepsilon}{c}-al_z\right )^2-\Delta\left (\left (a\frac{\varepsilon}{c}-l_z\right )^2+Q\right )=\Delta^2(\frac{dS^{(r)}}{dr})^2\hspace{2cm}\)(2.i) et
\(V_\theta=Q+\cos^2\theta(a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{l_z^2}{\sin^2\theta})=(\frac{dS^{(\theta)}}{d\theta})^2\hspace{2cm}\)(2.j)
l’équation (2.a) vue plus haut s’écrit :
\(S=-\frac{\varepsilon}{c} ct+\int\frac{\sqrt{V_r}}{\Delta}dr+\int\sqrt{V_\theta}\ d\theta+l_z\varphi\)
Il s’en déduit alors :
\(p_r=\frac{\delta S}{\delta r}=\pm\frac{\sqrt{V_r}}{\Delta}=\frac{\Sigma}{\Delta}\frac{dr}{d\lambda}\) (en appliquant (2.c))
\(p_\theta=\frac{\delta S}{\delta\theta}=\pm\sqrt{V_\theta}=\Sigma\frac{d\theta}{d\lambda}\) (en appliquant (2.c))
Avec \(i\in [0,\pi]\) l’angle constant d’inclinaison du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) par rapport à l’axe de rotation du trou noir, en posant \(l\) la norme du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\), \(l_z=l\cos i\), il peut être démontré \(Q=l^2\sin^2i\) et les équations (2.i) et (2.j) deviennent après développement pour les géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr :
\(V_r=\Sigma^2(\frac{dr}{d\lambda})^2=\frac{\varepsilon^2}{c^2}\left (r^4+\left (a^2-c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\right )r^2+2m\left (a^2-2ac\frac{l}{\varepsilon}\cos i+c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\right )r-a^2c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\sin^2i\right )\hspace{2cm}\)(2.k) et
\(V_\theta=\Sigma^2(\frac{d\theta}{d\lambda})^2=\frac{\varepsilon^2}{c^2}\left (a^2\cos^2\theta+c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\left (\sin^2i-\frac{\cos^2i}{\tan^2\theta}\right )\right )\hspace{2cm}\)(2.l)
Note : en raison de la soustraction de \(a^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}+l_z^2\) des équations ci-dessus, la constante \(Q\) est dite constante de Carter modifiée, la relation avec la constante de Carter \(K\) étant \(Q=K-\frac{a^2\varepsilon^2}{c^2}-l_z^2\).

Équations paramétriques de \(\varphi\) et de \(t\)

D’après (2.c), \(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\frac{\delta H}{\delta l_z}\) et \(\frac{dct}{d\lambda}=\frac{\delta H}{\delta (-\frac{\varepsilon}{c})}\)
ce qui conduit à
\(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\frac{\varepsilon}{c}\left( \frac{2mar}{\Sigma}+(\Sigma-2mr)\frac{1}{\Sigma\sin^2\theta}c\frac{l_z}{\varepsilon}\right )/\Delta\hspace{2cm}\)(2.m) et
\(\frac{dct}{d\lambda}=\frac{\varepsilon}{c}\left (\left (\frac{(r^2+a^2)^2}{\Sigma}-\frac{\Delta a^2\sin^2\theta}{\Sigma}-\frac{2mar}{\Sigma}c\frac{l_z}{\varepsilon}\right )\right )/\Delta\hspace{2cm}\)(2.n)

Expression des 4 équations paramétriques \(\frac{dr}{d\lambda}\), \(\frac{d\theta}{d\lambda}\), \(\frac {d\varphi}{d\lambda}\) et \(\frac {dct}{d\lambda}\)

Finalement, les équations (2.k), (2.l), (2.m) et (2.n) conduisent respectivement aux 4 équations paramétriques du mouvement du photon permettant le calcul des géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr :
\((\frac{dr}{d\lambda})^2=\left (r^4+\left (a^2-c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\right )r^2+2m\left (a^2-2ac\frac{l}{\varepsilon}\cos i+c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\right )r-a^2c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\sin^2i\right )\frac{\varepsilon^2}{\Sigma^2 c^2}\hspace{2cm}\)(2.o)
\((\frac{d\theta}{d\lambda})^2=\left (a^2\cos^2\theta+c^2\frac{l^2}{\varepsilon^2}\left (\sin^2i-\frac{\cos^2i}{\tan^2\theta}\right )\right )\frac{\varepsilon^2}{\Sigma^2 c^2}\hspace{2cm}\)(2.p)
\(\frac{d\varphi}{d\lambda}=\left( 2mar+(\Sigma-2mr)c\frac{l}{\varepsilon}\frac{\cos i}{sin^2\theta}\right )\frac{\varepsilon}{\Delta\Sigma c}\hspace{2cm}\)(2.q)
\(\frac{dct}{d\lambda}=\left ((r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta-2mar\ c\frac{l}{\varepsilon}\cos i\right )\frac{\varepsilon}{\Delta\Sigma c}\hspace{2cm}\)(2.r)
Note : dans la suite, il est supposé que \(|a|\) est compris entre \(0\) et \(m\), bornes incluses.

TRAJECTOIRES DES PHOTONS

Le calcul de la déviation de la lumière par les trous noirs de Kerr et plus précisément les trajectoires des photons déviés par un trou noir en rotation de caractéristiques \(m\) et \(a\) peuvent être obtenues par intégration des équations (2.o), (2.p), (2.q) et (2.r) par rapport à un paramètre affine \(\lambda\).
Les conditions initiales sont \(ct_0, r_0, \theta_0, \varphi_0\), les signes de \((\frac{dr}{d\lambda})_0 \) et de \((\frac{d\theta}{d\lambda})_0\) et les paramètres constants \(i\) angle d’inclinaison du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) et \(b\) « paramètre d’impact » \(=c\frac{l}{\varepsilon}\), positif ou nul.

Typologie des trajectoires

Pour un angle \(i\) donné et pour un photon venant de l’infini, il existe 3 types de trajectoires suivant la valeur du paramètre d’impact de la trajectoire \(b\) par rapport à une valeur \(b_{crit}\) (voir définition au paragraphe 4.3.) :
– \(b>b_{crit}\) : le photon est dévié par le trou noir puis continue vers l’infini,
– \(b=b_{crit}\) : le photon est capturé suivant une orbite de coordonnée radiale constante,
– \(b<b_{crit}\) : le photon est absorbé par le trou noir.

Expression cartésienne de la trajectoire

Les géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr donnent des trajectoires qui peuvent être visualisées dans un repère fixe (\(O, x, y, z\)), \(O\) étant le centre du trou noir et \(z\) son axe de rotation, en utilisant les coordonnées cartésiennes de Boyer-Lindquist :
\(x=\sqrt{r^2+a^2}\cos\varphi\sin\theta\), \(y=\sqrt{r^2+a^2}\sin\varphi\sin\theta\) et \(z=r\cos\theta\).

Effet Lense-Thirring

L’expression de \(\frac{d\varphi}{dt}\) est obtenue à partir des équations (2.q) et (2.r) :
\(\frac{d\varphi}{dt}=\frac{2marc+(\Sigma-2mr)c^2\frac{l}{\varepsilon}\frac{\cos i}{sin^2\theta}}{(r^2+a^2)^2-\Delta a^2\sin^2\theta-2mar\ c\frac{l}{\varepsilon}\cos i}\)
ce qui induit un effet « d’entraînement » du photon par la rotation du trou noir.
En remplacant \(\Delta\) et \(\Sigma\) par leur valeur respective et après développement du dénominateur, il vient :
\(\frac{d\varphi}{dt}=\frac{2marc+(r^2+a^2\cos^2\theta-2mr)c^2\frac{l}{\varepsilon}\frac{\cos i}{sin^2\theta}}{r^4+a^2r^2+(a^4+a^2r^2)\cos^2\theta+2mar(a\sin^2\theta-c\frac{l}{\varepsilon}\cos i)}\hspace{2cm}\)(3.a)
Pour les trajectoires avec un angle d’inclinaison \(i=\frac{\pi}{2}\), les termes en \(\cos i\) s’annulent ce qui donne :
\(\frac{d\varphi}{dt}=\frac{2marc}{r^4+a^2r^2+(a^4+a^2r^2)\cos^2\theta+2ma^2r\sin^2\theta}\) qui est du signe de \(a\).
Cet effet est particulièrement visible pour les orbites polaires :

L’équation 3.a implique par ailleurs qu’un photon entrant dans l’ergosphère externe (soit \(\Sigma-2mr\lt 0\)) a un sens de rotation nécessairement prograde (identique à celui du trou noir) quand :
\(\bar{a}\gt 0\) et \(i\in [\frac{\pi}{2},\pi]\) \(\Rightarrow\) \(\frac{d\varphi}{dt}\gt 0\),
ou \(\bar{a}\lt 0\) et \(i\in [0,\frac{\pi}{2}]\) \(\Rightarrow\) \(\frac{d\varphi}{dt}\lt 0\).

Exemple de trajectoire d’un photon dans le plan équatorial (\(i=\pi\)) avec inversion du sens de variation de \(\varphi\) avant l’entrée dans l’ergosphère externe, puis ralliement au cercle de singularité de rayon \(a\) (singularité annulaire).

Valeurs maximales du paramètre d’impact \(b\)

Limite suivant \(r\)

\((\frac{dr}{d\lambda})^2\) doit être positif ou nul ce qui entraîne d’après (2.o) et avec \(b=\frac{cl}{\varepsilon}\) :
\(r^4+(a^2-b^2)r^2+2m(a^2-2ab\cos i+b^2)r-a^2b^2\sin^2i\ge 0\) soit \((-r^2+2mr- a^2sin^2i)b^2-4mar\cos i\ b+r^4+a^2r^2+2ma^2r\ge 0\).
Le membre de gauche de cette inégalité est un polynôme du 2ème degré en \(b\) qui a pour discriminant réduit :
\(D=(2mar\cos i)^2-(-r^2+2mr- a^2sin^2i)(r^4+a^2r^2+2ma^2r)\)
Quand \(-r^2+2mr- a^2sin^2i\) est négatif c’est-à-dire pour
\(r\lt m-\sqrt{m^2-a^2sin^2i}\) ou \(r\gt m+\sqrt{m^2-a^2sin^2i}\),
\(D\) est positif et le polynôme du 2ème degré en \(b\) est positif ou nul pour \(b\) compris entre les racines \(\frac{2mar\cos i+\sqrt{D}}{-r^2+2mr- a^2sin^2i}\) et \(\frac{2mar\cos i-\sqrt{D}}{-r^2+2mr- a^2sin^2i}\) soit puisque \(b\) est positif ou nul :
\(0\le b\le b_{maxr}=\frac{2mar\cos i-\sqrt{D}}{-r^2+2mr- a^2sin^2i}\hspace{2cm}\)(3.a).
Il existe donc une valeur maximale de \(b\) dépendant des paramètres \(m\) et \(a\) du trou noir et des valeurs de la coordonnée radiale \(r\) du photon et de l’angle \(i\) d’inclinaison du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) du photon.
Quand \(-r^2+2mr- a^2sin^2i\) est positif c’est-à-dire pour \(0\lt m-\sqrt{m^2-a^2sin^2i}\lt r \lt\ m+\sqrt{m^2-a^2sin^2i}\lt 2m\), \(D\) est négatif et le polynôme du 2ème degré en \(b\) reste positif quelle que soit la valeur de \(b\).

Limite suivant \(\theta\)

\((\frac{d\theta}{d\lambda})^2\) doit être positif ou nul ce qui entraîne d’après (2.p) et avec \(b=\frac{cl}{\varepsilon}\) :
\(a^2\cos^2\theta+b^2(\sin^2i-\frac{\cos^2i}{\tan^2\theta})\ge 0\)
Quand \(\sin^2i-\frac{\cos^2i}{\tan^2\theta}\) est négatif, l’inégalité ci-dessus donne
\(0\le b\le b_{max\theta}=\frac{|a|\cos\theta}{\sqrt{\frac{\cos^2i}{\tan^2\theta}-sin^2i}}\)
Il existe donc une valeur maximale de \(b\) dépendant du paramètre \(a\) du trou noir et des valeurs de la colatitude \(\theta\) du photon et de l’angle \(i\) d’inclinaison du moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) du photon.
Quand \(\sin^2i-\frac{\cos^2i}{\tan^2\theta}\) est positif, \((\frac{d\theta}{d\lambda})^2\) reste positif quelle que soit la valeur de \(b\).

ORBITES DES PHOTONS

Les géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr peuvent admettre une coordonnée radiale \(r\) constante générant une orbite des photons.

Coordonnée radiale constante

La valeur de coordonnée radiale \(r_c\) constante s’obtient en annulant le potentiel \(V_r\) (2.k) et sa dérivée \(\frac{dV_r}{dr}\).
Ces conditions entraînent après calcul avec \(\bar{r_c}=\frac{r_c}{m}\) et \(\bar{a}=\frac{a}{m}\) que :
– d’une part \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}=-\frac{(\bar{r_c}^3-3\bar{r_c}^2+\bar{a}^2\bar{r_c}+\bar{a}^2)}{\bar{a}(\bar{r_c}-1)}\) et \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon^2}=-\frac{\bar{r_c}^3(\bar{r_c}^3-6\bar{r_c}^2+9\bar{r_c}-4\bar{a}^2)}{\bar{a}^2(\bar{r_c}-1)^2}\) ce qui avec \(l^2=Q+l_z^2\) donne \(\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}=\frac{2\bar{r_c}^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r_c}^2+2\bar{a}^2\bar{r_c}+\bar{a}^2}{(\bar{r_c}-1)^2}\),
– d’autre part \(\bar{r_c}\) est une racine du polynôme en \(\bar{r}^6\):
\(p(\bar{r})=\bar{r}^6-6\bar{r}^5+(9+2\nu u)\bar{r}^4-4u\bar{r}^3-\nu u(6-u)\bar{r}^2+2\nu u^2 \bar{r}+\nu u^2\)⁶
avec \(u=\bar{a}^2\) et \(\nu=\sin^2⁡i\).
\(p(\bar{r_c})=0\hspace{2cm}\)(4.a) donne pour une même valeur de \(\nu\) au moins 2 solutions \(\bar{r_c}_{prograde}\) (orbite décrite dans le sens de rotation du trou noir) et \(\bar{r_c}_{rétrograde}\) (orbite décrite dans le sens opposé à la rotation du trou noir) telles que \(0\le\bar{r_c}_{prograde}\le 3\le\bar{r_c}_{rétrograde}\le 4\) avec \(i_{prograde}\in [0,\frac{\pi}{2}]\) ou \(l_z\ge 0\), \(i_{rétrograde}\in [\frac{\pi}{2},\pi]\) ou \(l_z\le 0\), et \(\sin i_{rétrograde}=-\sin i_{prograde}\).
Il existe un autre polynôme en \(\bar{r}^5\) dont la racine pour un angle \(i\) donne la coordonnée radiale réduite \(\bar{r_c}\) de l’orbite du photon :
\(q(\bar{r})=\bar{r}^5-3\bar{r}^4+2\bar{a}^2\bar{r}^3\sin^2i-2\bar{a}^2\bar{r}^2+\bar{a}^4\bar{r}\sin^2i+\bar{a}^4\sin^2i+2|\bar{a}|\bar{r}\cos i\sqrt{3\bar{r}^4+(1-3\sin^2i)\bar{a}^2\bar{r}^2-\bar{a}^4\sin^2i}\)⁷
\(q(\bar{r_c})=0\hspace{2cm}\)(4.b)
Si \(i\in [0,\frac{\pi}{2}]\), l’orbite est prograde et si \(i\in [\frac{\pi}{2},\pi]\), l’orbite est rétrograde.
A noter que pour les valeurs faibles de \(i\), (4.a) et (4.b) fournissent deux solutions \(0\le\bar{r_c}\le 1\).
Il n’existe pas de solution analytique simple des équations (4.a) ou (4.b) excepté pour les orbites équatoriales (\(i=0\) ou \(i=\pi\)) ou les orbites polaires (\(i=\frac{\pi}{2}\)).
Enfin, toutes les orbites sont instables, le calcul donnant \(\frac{d^2V_r}{dr^2}\gt 0\).

Orbites remarquables

Orbites équatoriales

Les orbites équatoriales sont obtenues lorsque le moment cinétique du photon \(\overrightarrow{l}\) est parallèle à l’axe de rotation du trou noir (\(i=0\) ou \(i=\pi\)), ce qui donne une trajectoire du photon dans le plan équatorial du trou noir.
En appliquant \(i=0\) ou \(i=\pi\) soit \(\nu=0\) dans (4.a), il vient :
\(p(\bar{r})=\bar{r}^3(\bar{r}^3-6\bar{r}^2+9\bar{r}-4u)=0\) soit
\(\bar{r}^3-6\bar{r}^2+9\bar{r}-4u=0\) et la solution triviale \(\bar{r}=0\) (singularité centrale ou annulaire).
Avec le changement de variable \(\bar{r}=x+2\), cette équation du 3ème degré se réduit à :
\(x^3-3x+2-4u=0\hspace{2cm}\)(4.c)
En utilisant la méthode de Cardan, le discriminant de (4.c) \(D=-(4A^3+27B^2)\) avec \(A=-3\) et \(B=2-4u\) vaut \(432u(1-u)\) et étant donné que \(u\in[0,1]\), 2 cas sont à distinguer :
– \(u=0\) ou \(u=1\Rightarrow D=0\) et (4.c) admet donc 3 solutions réelles \(\frac{3B}{A}\) et \(-\frac{3B}{2A}\) (racine double) ce qui donne :
pour \(u=0\) : \(\bar{r_1}=0\) solution triviale (singularité centrale) et \(\bar{r_0}=\bar{r_2}=3\) (solution de Schwarzschild),
pour \(u=1\) : \(\bar{r_0}=4\) et \(\bar{r_1}=\bar{r_2}=1\).
– \(u\in ]0,1[\Rightarrow D>0\) et (4.c) admet donc 3 solutions réelles distinctes :
\(x_k=2\sqrt{\frac{-A}{3}}\cos\left ({1\over 3}\arccos\left (\frac{3B}{2A}\sqrt{\frac{3}{-A}}\right )+\frac{2k\pi}{3}\right )\) avec \(k\in\) {0,1,2}
ce qui donne, en remplaçant A et B par leur valeur respective :
\(\bar{r_0}=2+2\cos\left ({1\over 3}\arccos\left (2u-1\right )\right )\)
\(\bar{r_1}=2+2\cos\left ({1\over 3}\arccos\left (2u-1\right )+\frac{2\pi}{3}\right )\)
\(\bar{r_2}=2+2\cos\left ({1\over 3}\arccos\left (2u-1\right )+\frac{4\pi}{3}\right )\)
avec \(0\lt\bar{r_1}\le 1\le\bar{r_2}\le 3\le\bar{r_0}\le 4\).
Note : les formules ci-dessous donnent les mêmes résultats :
\(\bar{r_0}=2+2\cos(\frac{2}{3}\arccos(\bar{a}))\)^{8 9}
\(\bar{r_1}=4\sin^2(\frac{1}{3}\arcsin(\bar{a}))\)¹⁰
\(\bar{r_2}=2+2\cos(\frac{2}{3}\arccos(-\bar{a}))\)^{11 12}

Orbites polaires

Les orbites polaires sont obtenues lorsque le moment cinétique du photon \(\overrightarrow{l}\) est orthogonal à l’axe de rotation du trou noir (\(i=\frac{\pi}{2}\)), ce qui donne une trajectoire passant par les 2 pôles.
En appliquant \(i=\frac{\pi}{2}\) soit \(\nu=1\) dans (4.a), il vient :
\(p(\bar{r})=(\bar{r}^3-3\bar{r}^2+u\bar{r}+u)^2=0\)
Avec le changement de variable \(\bar{r}=x+1\), cette équation se réduit à :
\(x^3+(u-3)x+2u-2=0\hspace{2cm}\)(4.d)
En utilisant la méthode de Cardan, le discriminant de (4.d) \(D=-(4A^3+27B^2)\) avec \(A=u-3\) et \(B=2u-2\) vaut \(4u(-u^2-18u^2+27)\) et étant donné que \(u\in[0,1]\), 2 cas sont à distinguer :
– \(u=0\Rightarrow D=0\) et (4.d) admet donc 3 solutions réelles dont une double : \(x_0=\frac{3B}{A}\) et \(x_1=x_2=-\frac{3B}{2A}\) ce qui donne \(r_0=3\) (solution de Schwarzschild) et \(r_1=r_2=0\) solution triviale (singularité centrale),
– \(u\in ]0,1]\) : le signe de \(D\) est celui du polynôme \(-u^2-18u^2+27\) dont le déterminant vaut \(108\), ce qui signifie que le polynôme admet 2 racines réelles : \(-9-\sqrt{108}\) et \(-9+\sqrt{108}\).
Il est facile de vérifier que \(u\) est compris entre ces 2 racines, ce qui indique que le polynôme est positif pour \(u\in ]0,1]\Rightarrow D>0\) et (4.d) admet donc 3 solutions réelles distinctes :
\(x_k=2\sqrt{\frac{-A}{3}}\cos\left ({1\over 3}\arccos\left (\frac{3B}{2A}\sqrt{\frac{3}{-A}}\right )+\frac{2k\pi}{3}\right )\) avec \(k\in\) {0,1,2}
ce qui donne, en remplaçant A et B par leur valeur respective :
\(\bar{r_0}=1+2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\cos\left ({1\over 3}\arccos\left (\frac{1-u}{\left (1-\frac{u}{3}\right )^\frac{3}{2}}\right )\right )\)
\(\bar{r_1}=1+2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\cos\left ({1\over 3}\arccos\left (\frac{1-u}{\left (1-\frac{u}{3}\right )^\frac{3}{2}}\right )+\frac{2\pi}{3}\right )<0\Rightarrow\) solution non acceptable puisque la coordonnée radiale du photon est positive ou nulle.
\(\bar{r_2}=1+2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\cos\left ({1\over 3}\arccos\left (\frac{1-u}{\left (1-\frac{u}{3}\right )^\frac{3}{2}}\right )+\frac{4\pi}{3}\right )\)
avec \(\bar{r_1}\lt 0\lt\bar{r_2}\le1\le\bar{r_0}\le 3\).
Note : la formule ci-dessous donne le même résultat pour \(\bar{r_2}\)
\(\bar{r_2}=1-2\sqrt{1-\frac{u}{3}}\sin\left ({1\over 3}\arcsin\left (\frac{1-u}{\left (1-\frac{u}{3}\right )^\frac{3}{2}}\right )\right )\)¹³

Paramètre critique d’impact

Comme vu plus haut, la valeur de \(i\) détermine la coordonnée radiale réduite \(\bar{r_c}\) de l’orbite du photon et le paramètre critique d’impact relatif aux géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr peut être calculé par les formules suivantes :
\(b_{crit}=m\sqrt{\frac{3\bar{r_c}^4+\bar{a}^2\bar{r_c}^2}{|\bar{r_c}^2-\bar{a}^2\sin^2i|}}\)¹⁴
ou pour \(\bar{r_c}\ne 1\) :
\(b_{crit}=m\sqrt{\frac{2\bar{r_c}^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r_c}^2+2\bar{a}^2\bar{r_c}+\bar{a}^2}{(\bar{r_c}-1)^2}}\)

Colatitude limite

L’équation paramétrique (2.o) s’écrit avec \(b_{crit}=c\frac{l}{\varepsilon}\) :
\(\left(\frac{d\theta}{d\lambda}\right )^2=\left (a^2\cos^2\theta+b_{crit}^2\left (\sin^2i-\frac{\cos^2i}{\tan^2\theta}\right )\right )\frac{\varepsilon^2}{\Sigma^2 c^2}\)
\(\frac{d\theta}{d\lambda}\) s’annule donc pour \(a^2\cos^2\theta+b_{crit}^2\left (\sin^2i-\frac{\cos^2i}{\tan^2\theta}\right )=0\) ce qui s’écrit après développement et en valeurs réduites :
\(-\bar{a}^2\cos^4\theta-\left(\left(\frac{b_{crit}}{m}\right )^2-\bar{a}^2\right )\cos^2\theta+\left(\frac{b_{crit}}{m}\right )^2\sin^2i=0\hspace{2cm}\)(4.e)
Le membre de gauche de (4.e) est un polynôme du 2ème degré en \(\cos^2\theta\) qui admet une racine positive \(\cos^2\theta_{lim}=\frac{\bar{a}^2-(\frac{b_{crit}}{m})^2+\sqrt{(\bar{a}^2-(\frac{b_{crit}}{m})^2)^2+4\bar{a}^2(\frac{b_{crit}}{m})^2\sin^2i}}{2\bar{a}^2}\) et il est positif ou nul pour \(\cos^2\theta\in [0,\cos^2\theta_{lim}]\).
Les orbites du photon ont donc une colatitude \(\theta\) qui reste comprise dans l’intervalle \([\theta_{lim},\pi-\theta_{lim}]\) avec \(\cos\theta_{lim}=\sqrt{\frac{\bar{a}^2-(\frac{b_{crit}}{m})^2+\sqrt{(\bar{a}^2-(\frac{b_{crit}}{m})^2)^2+4\bar{a}^2(\frac{b_{crit}}{m})^2\sin^2i}}{2\bar{a}^2}}\hspace{2cm}\)(4.f)
Dans le cas des orbites polaires, \(i=\frac{\pi}{2}\) et (4.f) devient :
\(\cos\theta_{lim}=\sqrt{\frac{\bar{a}^2-(\frac{b_{crit}}{m})^2+\sqrt{(\bar{a}^2+(\frac{b_{crit}}{m})^2)^2}}{2\bar{a}^2}}=1\) ce qui confirme que la colatitude \(\theta\) d’une orbite polaire est définie sur \(]0,\pi[\).

Inclinaisons limites

Trou noir de Kerr extrême

Lorsque \(|\bar{a}|=1\), chaque valeur de l’angle d’inclinaison \(i\) détermine une et une seule valeur de \(\bar{r_c}\).
Quand le photon est sur l’horizon des évènements \(\bar{r_c}=1\), les valeurs respectives de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) et de \(\frac{c^2l^2}{m^2\varepsilon^2}\) sont \(2\) et \(7\) ce qui conduit à un angle d’inclinaison \(i_{lim}=\arccos\frac{2}{\sqrt{7}}\simeq 40,9^\circ\).
Pour \(i\lt i_{lim}\), les orbites des photons se situent à l’intérieur de l’horizon des évènements, c’est-à-dire avec une valeur \(\bar{r_c}\in[0,1[\).

Autres trous noirs de Kerr

Lorsque la valeur de l’angle d’inclinaison \(i\) est inférieure à une valeur \(i_{lim}\) qui peut être déterminée numériquement en fonction de \(\bar{a}\), il lui correspond 3 valeurs de \(r_c\) dont une est supérieure à \(r_h\) (orbite des photons à l’extérieur de l’horizon des évènements) et deux sont inférieures à \(r_{Cauchy}\) (orbites des photons à l’intérieur de l’horizon de Cauchy). La plus grande de ces deux dernières orbites présente la particularité d’un angle \(\theta_{lim}\) croissant avec \(r_c\), contrairement aux autres orbites progrades des photons (\(i\lt\frac{\pi}{2}\)).
La valeur \(i_{lim}\) est inférieure à la valeur \(i_{lim}\) pour \(|\bar{a}|=1\) et décroissante avec \(|\bar{a}|\).
Pour \(i\gt i_{lim}\), il existe une et une seule valeur de \(r_c\) qui est supérieure à \(r_h\) et les orbites des photons se situent à l’extérieur de l’horizon des évènements.

Démonstration \(Q=l^2\sin^2i\)

En utilisant la valeur de \(\frac{cl_z}{m\varepsilon}\) donnée au paragraphe 4.1, il vient :
\(\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}=(-\frac{(\bar{r_c}^3-3\bar{r_c}^2+\bar{a}^2\bar{r_c}+\bar{a}^2)}{\bar{a}(\bar{r_c}-1)})^2\) soit \(\frac{\bar{r_c}^6-6\bar{r_c}^5+9\bar{r_c}^4-4\bar{a}^2\bar{r_c}^3}{\bar{a}^2(\bar{r_c}-1)^2}+\frac{2\bar{r_c}^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r_c}^2+2\bar{a}^2\bar{r_c}+\bar{a}^2}{(\bar{r_c}-1)^2}\) qui s’écrit avec la valeur de \(\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon}^2\) donnée au paragraphe 4.1:
\(\frac{c^2l_z^2}{m^2\varepsilon^2}=-\frac{c^2Q}{m^2\varepsilon}^2+\frac{2\bar{r_c}^4+(\bar{a}^2-6)\bar{r_c}^2+2\bar{a}^2\bar{r_c}+\bar{a}^2}{(\bar{r_c}-1)^2}\)

INTÉGRATION NUMÉRIQUE

L’intégration numérique permettant le calcul des géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr et de tracer les trajectoires correspondantes peut se faire à partir des équations paramétriques (intégration par rapport à un paramètre affine) ou à partir des dérivées temporelles (intégration par rapport au temps \(t\) de l’observateur statique).
Les tracés cartésiens sont faits ensuite avec les relations vues plus haut \(x=\sqrt{r^2+a^2}\cos\varphi\sin\theta\), \(y=\sqrt{r^2+a^2}\sin\varphi\sin\theta\) et \(z=r\cos\theta\).

Trajectoires

Paramètres affines

Les équations (2.o), (2.p), (2.q) et (2.r) écrites au paragraphe 2.3 font apparaître un paramètre affine \(\Lambda=\frac{\lambda\varepsilon}{\Sigma c}\), dépendant de \(\Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta\), et elles peuvent être intégrées suivant une valeur constante du pas affine \(\Lambda\).
Une autre solution pour intégrer les 4 équations paramétriques est de considérer le paramètre affine \(\Lambda=\frac{\lambda\varepsilon}{c}\) en divisant chacune des équations par \(\Sigma\) ce qui permet d’utiliser une valeur constante du pas affine ne comprenant pas la valeur \(\Sigma\).
En utilisant une méthode d’intégration simple de Runge-Kutta d’ordre 4, les 2 solutions donnent de bons résultats, l’intégration sur le pas affine incluant \(\Sigma\) donnant des résultats plus précis pour les faibles valeurs de la coordonnée radiale \(r\) tandis que l’intégration sur le pas affine ne comprenant pas \(\Sigma\) donne des résultats plus précis pour les grandes valeurs de \(r\).
Les meilleurs résultats sont obtenus logiquement avec un pas affine adaptatif (fixé par une précision souhaitée sur le calcul de \(r\)) et l’utilisation du pas affine adaptatif comprenant la valeur \(\Sigma\) évite de complexifier inutilement les calculs des 4 coefficients RK4.
Les conditions initiales à considérer sont explicitées plus haut au paragraphe 3.

Intégration temporelle

Les dérivées temporelles du 1er ordre \(\frac{dr}{dt},\frac{d\theta}{dt}\) et \(\frac{d\varphi}{dt}\) sont obtenues en divisant les équations (2.o), (2.p) et (2.q) par (2.r) et en les multipliant par \(c\), et elles peuvent être intégrées selon une méthode RK4 à pas constant.
Les conditions initiales à considérer sont les coordonnées du photon \((r_0, \varphi_0, \theta_0)\) et les signes initiaux de \(\frac{dr}{dt}\) et de \(\frac{d\theta}{dt}\).
Il est à noter que l’intégration temporelle ne permet pas de tracer les trajectoires des photons entrant dans l’horizon des évènements notamment en raison du facteur \(\Delta\) aux numérateurs de \(\frac{dr}{dt}\) et \(\frac{d\theta}{dt}\) qui fait que la coordonnée radiale \(r\) et la colatitude \(\theta\) ne varient plus temporellement à l’entrée dans l’horizon des évènements (\(\Delta=0\), singularité des coordonnées de Boyer-Lindquist).
Cependant, l’intégration temporelle reste intéressante pour tracer les trajectoires animées, suivant un pas de temps et un échantillonnage d’écriture des résultats à choisir pour ne pas alourdir inutilement les fichiers.

Orbites

Les solutions d’intégration discutées plus haut au paragraphe 5.1. s’appliquent aux 3 équations paramétriques du 1er ordre \(\frac{d\theta}{d\lambda}\), \(\frac{d\varphi}{d\lambda}\) et \(\frac{dt}{d\lambda}\) avec \(r=r_c=\) cte pour l’orbite d’un photon.
La solution utilisant le pas affine constant comprenant la valeur \(\Sigma\) est légèrement plus précise que celle sans la valeur \(\Sigma\) tandis que la méthode à pas adaptatif n’apporte rien puisque la coordonnée radiale \(r\) est constante.
Enfin, comme vu plus haut au paragraphe 5.1.2., l’intégration temporelle est intéressante pour tracer les orbites animées suivant un pas de temps et un échantillonnage d’écriture des résultats à choisir pour ne pas alourdir inutilement les fichiers.

EXEMPLES DE TRAJECTOIRES DE PHOTONS

Le calcul des géodésiques des photons dans l’espace-temps de Kerr selon les paragraphes vus plus haut permet le tracé cartésien des trajectoires, dont quelques exemples sont fournis dans ce paragraphe.

Photons arrivant de l’infini – exemples de quasi-capture

Trou noir de Kerr extrême \(\bar{a}=-1\)

Trou noir de Kerr extrême \(\bar{a}=1\)

Trou noir de Schwarzschild \(\bar{a}=0\) (trajectoires dans un plan)

« Sphères » de photons

Les tracés de ce paragraphe sont arbitrairement faits avec les conditions initiales \(\theta_0=\frac{\pi}{2}\) et \((\frac{d\theta}{d\lambda})_0\ge 0\).

Trou noir de Kerr extrême \(\bar{a}=1\)

Trou noir de Kerr extrême \(\bar{a}=1\) avec orbites à l’intérieur de l’horizon des évènements \(\bar{r_c}\lt 1\)

Quelques autres trous noirs de Kerr

Vues de dessus des figures pour \(\bar{r_c}\gt 1\)

Deux premières oscillations (\(\theta_0=90^\circ\) et \((\frac{d\theta}{d\lambda})_0\gt 0\))

Contours et enveloppes des orbites des photons autour des trous noirs de Kerr

du tracé orange qui correspond à l’orbite polaire \(\bar{r_c}=1+ \sqrt{2}\).
L’orbite équatoriale \(\bar{r_c}=4\) est représentée par son diamètre \(4r_s=8m\).
Le tracé rouge est le contour de l’orbite \(\bar{r_c}=1\) et les tracés bleus sont les contours des orbites \(\bar{r_c}\lt 1\), le tracé \(\bar{r_c}=0\) correspondant à la singularité annulaire de diamètre \(r_s=2m\).
Les tracés verts et cyan sont les enveloppes dans le plan xz de toutes les orbites possibles (c’est-à-dire de coordonnée radiale réduite \(\bar{r_c}\) variant continûment de \(0\) à \(4\)).
Les régions (ergosphère externe, horizons des évènements et de Cauchy confondus et ergosphère interne) sont tracées en magenta.
A noter qu’à l’exception des photons avec moment cinétique \(\overrightarrow{l}\) nul, aucun photon ne peut se situer dans la région délimitée par le tracé cyan.
Exemples d’enveloppes des orbites des photons autour de quelques trous noirs de Kerr :

IMAGE APPARENTE D’UN TROU NOIR DE KERR (OMBRE)

et \(\frac{\beta}{m}=\bar{\beta}=\pm\sqrt{\frac{-\bar{r_c}^3(\bar{r_c}^3-6\bar{r_c}^2+9\bar{r_c}-4\bar{a}^2)}{\bar{a}^2(\bar{r_c}-1)^2}+\bar{a}^2\cos\theta_0^2-(\frac{-(\bar{r_c}^3-3\bar{r_c}^2+\bar{a}^2\bar{r_c}+\bar{a}^2)}{\bar{a}(\bar{r_c}-1)})^2\cot\theta_0^2}\)
avec \(\bar{r_c}\) coordonnées radiales réduites des orbites des photons variant entre une valeur \(\bar{r}_{c_{min}}\) et une valeur \(\bar{r}_{c_{max}}\).
La coordonnée céleste \(\varphi_{obs}\) de l’observateur situé à la colatitude \(\theta_0\) du trou noir peut être exprimée comme suit :
\(\sin\varphi_{obs}=\frac{\bar{r_c}^3-3\bar{r_c}^2+\bar{r_c}\bar{a}^2+\bar{a}^2+\bar{a}^2\sin^2\theta_0(\bar{r_c}-1)}{2\bar{a}\bar{r_c}\sin\theta_0\sqrt{\bar{r_c}^2-2\bar{r_c}+\bar{a}^2}}\) et les valeurs \(\bar{r}_{c_{min}}\) et \(\bar{r}_{c_{max}}\) sont solutions respectivement de \(\sin\varphi_{obs}=1\) et \(\sin\varphi_{obs}=-1\)¹⁶.
Pour un angle d’observation donné \(\theta_0\), les couples de valeurs \(\bar{\alpha}\) et \(\bar{\beta}\) s’obtiennent en faisant varier \(\bar{r_c}\) de \(\bar{r}_{c_{min}}\) à \(\bar{r}_{c_{max}}\).
Chaque contour est symétrique par rapport à l’axe horizontal et la valeur \(\alpha\) changeant de signe avec \(\bar{a}\), les contours sont symétriques par rapport à l’axe vertical pour deux valeurs opposées de \(\bar{a}\).

Calcul exact

La coordonnée céleste de l’observateur statique \(\theta_{obs}\) situé à une distance \(r_0\) d’un trou noir de Kerr peut être exprimée comme suit :
\(\sin\theta_{obs}=\frac{2\bar{r_c}\sqrt{\bar{r_c}^2-2\bar{r_c}+\bar{a}^2}\sqrt{\bar{r}_0^2-2\bar{r}_0+\bar{a}^2}}{\bar{r}_0^2\bar{r_c}-\bar{r}_0^2+\bar{r_c}^3-3\bar{r_c}^2+2\bar{r_c}\bar{a}^2}\)¹⁷ avec \(\bar{r}_0=\frac{r_0}{m}\).
La projection stéréographique dans un plan tangent à la sphère céleste de l’observateur au pôle \(\theta=0\) donne les coordonnées cartésiennes du contour apparent du trou noir dans ce plan :
\(x(\bar{r_c})=-2\tan(\frac{\theta_{obs}}{2})\sin\varphi_{obs}\) et \(y(\bar{r_c})=\mp2\tan(\frac{\theta_{obs}}{2})\cos\varphi_{obs}\)¹⁸.
Pour un angle d’observation \(\theta_0\) et une distance \(r_0\) donnés, les couples de valeurs \(x\) and \(y\) s’obtiennent en faisant varier \(\bar{r_c}\) de \(\bar{r}_{c_{min}}\) à \(\bar{r}_{c_{max}}\).
Chaque contour est symétrique par rapport à l’axe horizontal et la valeur \(\varphi_{obs}\) changeant de signe avec \(\bar{a}\), les contours sont symétriques par rapport à l’axe vertical pour deux valeurs opposées de \(\bar{a}\).

1. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
2. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
3. https://www.roma1.infn.it/teongrav/onde19_20/geodetiche_Kerr.pdf ↩︎
4. https://www.roma1.infn.it/teongrav/onde19_20/geodetiche_Kerr.pdf ↩︎
5. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
6. https://arxiv.org/pdf/2009.07012.pdf ↩︎
7. https://arxiv.org/abs/1210.2486 ↩︎
8. https://arxiv.org/abs/1210.2486 ↩︎
9. https://arxiv.org/pdf/2009.07012.pdf ↩︎
10. https://arxiv.org/pdf/2009.07012.pdf ↩︎
11. https://arxiv.org/abs/1210.2486 ↩︎
12. https://arxiv.org/pdf/2009.07012.pdf ↩︎
13. https://arxiv.org/pdf/2009.07012.pdf ↩︎
14. https://arxiv.org/abs/1210.2486 ↩︎
15. https://arxiv.org/pdf/2105.07101 ↩︎
16. https://arxiv.org/pdf/2105.07101 ↩︎
17. https://arxiv.org/pdf/2105.07101 ↩︎
18. https://arxiv.org/pdf/2105.07101 ↩︎