GRAVITATION

Calcul de \(L\) et \(\frac{dL}{d\varphi}\)

En remplaçant \(du\over d\varphi\) par sa valeur (3.j) dans l’expression \(\tan L=\frac {1}{u}{du \over d\varphi}\), il vient :
\(\tan L=\pm\sqrt{R_su-1+\frac{1}{b^2u^2}}=\pm\sqrt{\frac{R_s}{r}-1+\frac{r^2}{b^2}}\hspace{2cm}\)(3.x)
sachant que \({dL \over d\varphi}=\frac{d\tan L(\varphi)\over d\varphi}{1+\tan^2 L(\varphi)}=\frac{d\left({1\over u}\frac{du}{d\varphi}\right)\over d\varphi}{1+\tan^2 L(\varphi)}\), il vient :
\({dL\over d\varphi}=\frac{\frac{1}{u}{d^2u \over d\varphi^2}-\frac {1}{u^2}\left({du\over d\varphi}\right)^2}{\frac{R_s}{b^2u}+\frac{1}{b^2u^2}}\)
soit en remplaçant \(d^2u\over d\varphi^2\) et \(\left({du\over d\varphi}\right)^2\) par leurs valeurs respectives données par (3.w) et (3.v) :
\({dL\over d\varphi}=\frac{\frac{1}{u}\left({3\over 2}R_su^2-u\right)-{1\over u^2}\left(R_su^3-u^2+{1\over b^2}\right)}{\frac{R_s}{b^2u}+\frac{1}{b^2u^2}}=\frac{\frac{R_su}{2}-\frac{1}{b^2u^2}}{R_su+\frac{1}{b^2u^2}}=\frac{\frac{R_s}{2r}-\frac{r^2}{b^2}}{\frac{R_s}{r}+\frac{r^2}{b^2}}\hspace{2cm}\)(3.y)
applicable aux géodésiques des photons dans l’espace-temps de Schwarzschild.

Résolution de \(r^3-rb^2+b^2R_s = 0\) par la méthode de Cardan et discussion des géodésiques des photons dans l’espace-temps de Schwarzschild

(3.k) est équivalent à \(F(r)=r^3−rb^2+b^2R_s=0\hspace{2cm}\)(3.z)
en notant que \(F(r)\) est toujours positif ou nul car avec (3.h) et après calcul il vient :
\(F(r)={b\over r}\left({dr \over d\varphi}\right)^2\)
(3.z) est une équation polynomiale dépréciée de degré 3 en \(r\) qui admet trois solutions \(r_0,\ r_1\) et \(r_2\) et qui peut se résoudre par la méthode de Cardan¹.
En posant \(F(r)=r^3+Ar+B=0\), le discriminant de l’équation vaut :
\(\Delta=-(4A^3+27B^2)\) soit avec \(A=−b^2\) et \(B=b^2R_s\) :
\(\Delta =b^4(4b^2-27R_s^2)\)
Si \(\Delta >0\), il existe trois solutions réelles \(r_0,\ r_1\) et \(r_2\) distinctes, si \(\Delta =0\), les trois solutions sont réelles et une est double et si \(\Delta <0\), une seule solution est réelle et les deux autres solutions sont complexes conjuguées².
D’autre part, les solutions à retenir pour (3.z) doivent appartenir à \([0,+\infty[\) (par définition de \(r\) coordonnée radiale).
(3.z) étant issue de (3.k) qui suppose que \(b\) n’est pas nul, la valeur positive qui annule \(\Delta\) est la valeur critique \(b_{crit}=\frac{3\sqrt{3}}{2}R_s\ (=\sqrt{3}\ r_{crit}\) avec \(r_{crit}={3\over 2}R_s\)).
Pour la discussion ci-dessous des géodésiques des photons dans l’espace-temps de Schwarzschild, il est considéré un objet massif de masse \(M\) représenté par une sphère de rayon \(R\) (le rayon de Schwarzschild associé valant \(R_s=\frac{2GM}{c^2}\)).

Cas \(b>b_{crit}\) ou \(\Delta>0\)

Les trois solutions sont réelles et distinctes s’écrivent :
\(r_k=2\sqrt{-{A\over 3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(\frac{3B}{2A}{\sqrt{-3\over A}}\right)+2k{\pi\over 3}\right)\) avec \(k\in (0,1,2)\)³
ce qui donne en remplaçant A et B par leurs valeurs respectives :
\(r_k={2b\over\sqrt{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(-\frac{b_{crit}}{b}\right)+2k{\pi\over 3}\right)\) avec \(k\in (0,1,2)\)
Puisque \(b>b_{crit}\), \(-\frac{b_{crit}}{b}\in \ ]-1,0[\) donc \(\arccos(-\frac{b_{crit}}{b})\in ]{\pi\over 2},\pi[\) ce qui entraîne :
\({1\over 3}\arccos\left(-\frac{b_{crit}}{b}\right)\in ]{\pi\over 6},{\pi\over 3}[\) soit \(r_0\in ]\frac{b}{\sqrt {3}},b[\),
\({1\over 3}\arccos\left(-\frac{b_{crit}}{b}\right)+{2\pi\over 3}\in ]{5\pi\over 6},\pi[\) soit \(r_1\in ]-b,-\frac{2b}{\sqrt {3}}[\),
\({1\over 3}\arccos\left(-\frac{b_{crit}}{b}\right)+{4\pi\over 3}\in ]{3\pi\over 2},{5\pi\over 3}[\) soit \(r_2\in ]0,\frac{b}{\sqrt {3}}[\).
Les intervalles d’appartenance ci-dessus entraînent \(r_1<0<r_2<r_0\)
\(\Rightarrow\) (3.z) admet deux solutions \(r_2\) et \(r_0\) sur \(]0,+\infty[\).
Pour les valeurs positives de \(r\), \(F(r)\) prend une valeur positive ou nulle sur \(]0,r_2]\) et sur \([r_0,\infty[\).

Photon entrant depuis l’infini

La coordonnée radiale \(r\) de \(p\) appartient à \([r_0,+\infty[\).
En supposant que \(R<r_0\), \(r\) atteint \(r_0\) (passage au périastre \(F(r_0)=0\)) puis \(p\) continue vers l’infini. Si \(R>r_0\), \(p\) impacte l’objet massif quand \(r=R\).
A noter que \(r\) ne peut atteindre \(r_2\) puisque \(r_2<r_0\).

Photon sortant depuis l’horizon des évènements

La coordonnée radiale \(r\) de \(p\) appartient à \(]R_s,r_2[\).
\(r\) atteint \(r_2\) (passage à l’apoastre \(F(r_2)=0\)) puis \(p\) revient dans l’horizon des évènements de l’objet massif.
La valeur de \(r\) ne peut dépasser \(r_2\) car cela conduirait à \(F(r)< 0\) en contradiction avec \(F(r)\) positif ou nul comme indiqué précédemment.
La condition pour qu’un photon émis depuis l’horizon des évènements d’un trou noir \(r_{em}=R_s\) revienne dans l’horizon des évènements est donc \(b>b_{crit}\).

Cas \(b=b_{crit}\) ou \(\Delta=0\)

Les trois solutions sont réelles et une est double :
\(r_1=\frac{3B}{A}\) et \(r_0=r_2=-\frac{3B}{2A}\)⁴
ce qui donne en remplaçant A et B par leurs valeurs respectives :
\(r_1=-3R_s\) et \(r_0=r_2={3\over 2}R_s\)
\(\Rightarrow\) (3.z) admet une solution \(r_{crit}={3\over 2}R_s\) sur \(]0,+\infty[\).

Photon entrant depuis l’infini

En supposant que \(R<{3\over 2}R_s\), il s’agit du cas limite où la coordonnée radiale \(r\) de \(p\) entrant depuis l’infini atteint asymptotiquement « par le haut » la valeur \(r_0=r_2=r_{crit}={3\over 2}R_s\) et \(p\) se place sur une orbite circulaire de rayon \(r_{crit}\) autour de l’objet massif. Cette orbite est instable : comme vu précédemment, si \(r\) devient plus grand que \(r_{crit}=r_0\), \(p\) continue vers l’infini, et si \(r\) devient plus petit que \(r_{crit}=r_2\), \(p\) suit une trajectoire vers le point \(O\) centre de l’objet massif et atteint ce dernier. Si \(R>{3\over 2}R_s\), \(p\) impacte l’objet massif quand \(r= R\).

Photon sortant depuis l’horizon des évènements

En supposant que \(R<{3\over 2}R_s\), il s’agit du cas limite où la coordonnée radiale \(r\) de \(p\) sortant depuis \(R_s\) atteint asymptotiquement « par le bas » la valeur \(r_2=r_0=r_{crit}={3\over 2}R_s\) et \(p\) se place sur une orbite circulaire de rayon \(r_{crit}\) autour de l’objet massif. Cette orbite est instable : comme vu précédemment, si \(r\) devient plus petit que \(r_{crit}=r_2\), \(p\) revient vers l’objet massif, et si \(r\) devient plus grand que \(r_{crit}=r_0\), \(p\) s’échappe de l’objet massif et suit une trajectoire vers l’infini.
Il est à noter que l’objet massif n’est pas nécessairement un trou noir puisqu’un objet compact de rayon \(R\in ]R_s,{3\over 2}R_s[\) permet l’orbite circulaire de \(p\).

Cas \(b<b_{crit}\) ou \(\Delta<0\)

Une seule solution est réelle et les deux autres solutions sont complexes conjuguées⁵.
La solution réelle est :
\(r_1=\sqrt[3]{\frac{-B+\sqrt{\frac{-\Delta}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-B-\sqrt{\frac{-\Delta}{27}}}{2}}\)⁶
Avec \(b_{crit}^2=\frac{27R_s^2}{4}\), \(\Delta\) peut s’écrire :
\(\Delta=4b^4(b^2-b_{crit}^2)\)
ce qui donne en remplaçant B et \(\Delta\) par leurs valeurs respectives et après calcul :
\(r_1=\frac{\sqrt[3\over 2]{b}}{\sqrt{3}}(\sqrt[3]{-b_{crit}+\sqrt{b_{crit}^2-b^2}}-\sqrt[3]{b_{crit}+\sqrt{b_{crit}^2-b^2}})\)
En remarquant que \(-b_{crit}+\sqrt{b_{crit}^2-b^2}\) est \(<0\) (fonction décroissante de \(b\) et de valeur nulle pour \(b=0\)), il apparait que \(r_1\) est \(<0\)
\(\Rightarrow\) (3.z) n’admet pas de solution sur \([0,+\infty[\).

Photon entrant depuis l’infini

La coordonnée radiale \(r\) de \(p\) est initialement décroissante ce qui signifie que \(r\) n’ayant pas de minimum tend vers \(0\) : \(p\) suit une trajectoire vers le point \(O\) centre de l’objet massif et rencontre l’objet massif, quand \(r=R\) et cela quelle que soit la valeur de \(R\).
\(L\) défini précédemment représente pour \(\varphi=\varphi_{impact}\) l’angle d’impact de \(p\) (angle avec le plan tangent à la sphère de rayon \(R\) au point d’impact).
\(b<b_{crit}\) entraîne une condition sur \(L_{\varphi_{impact}}\) d’après (3.x) :
\(\tan L_{\varphi_{impact}}\geq \sqrt{\frac{R_s}{R}-1+\frac {R^2}{b_{crit}^2}}\).

Contraction des directions angulaires

Un observateur placé à l’horizon des évènements de l’objet massif au point d’impact relève une direction apparente \(\varphi_{apparent}=\frac{\pi}{2}-L_{\varphi_{impact}}\) pour une direction réelle d’émission \(\simeq\varphi_{impact}\) (en considérant que \(R\ll\) distance d’émission du photon).
A l’horizon des évènements d’un trou noir, le facteur de contraction \(\frac{\varphi_{impact1}}{\varphi_{apparent}}\) vaut \(1\) pour \(b=0\) et tend vers l’infini quand \(b\) et \(L_{\varphi_{impact}}\) tendent respectivement vers \(b_{crit}\) et \(L_{crit}\) (le nombre de tours autour du trou noir et donc \(\varphi_{impact}\) tendent vers l’infini).

Contraction des diamètres apparents des étoiles

La contraction des diamètres apparents des étoiles correspond au ratio \(\frac{\Delta L\ réel}{\Delta L\ apparent}\) pour une hauteur \(L\) donnée.
L’intégration numérique des géodésiques des photons dans l’espace-temps de Schwarzschild conduit aux résultats suivants à l’horizon des évènements d’un trou noir :

\(L\ réelle\)	\(L\ apparente\)	\(Facteur\ de\ contraction\)	\(\frac{\Delta L\ réel}{\Delta L\ apparent}\)
\(90^\circ\)	\(90^\circ\)	\(1\)	\(1\)
\(45^\circ\)	\(52,6^\circ\)	\(\simeq 1,20\)	\(\simeq 1,71\)
\(0^\circ\)	\(35,1^\circ\)	\(\simeq 1,64\)	\(\simeq 4,11\)
\(-45^\circ\)	\(27,6^\circ\)	\(\simeq 2,16\)	\(\simeq 9,18\)
\(-90^\circ\)	\(24,2^\circ\)	\(\simeq 2,73\)	\(\simeq 19,41\)
NA	\(\arctan\left(\frac{2}{3\sqrt {3}}\right) \simeq 21,1^{\circ }\)	\(\infty\)	\(\infty\)

Photon sortant depuis l’horizon des évènements

La coordonnée radiale de \(p\) est initialement croissante : \(r\) n’ayant pas de maximum, \(p\) va s’échapper de l’objet massif et suivre une trajectoire vers l’infini, et cela quelle que soit la valeur de \(R\).
La condition pour qu’un photon émis depuis l’horizon des évènements d’un trou noir (\(r_{em}=R_s\)) puisse s’en échapper est donc \(b<b_{crit}\).

Tableau de synthèse des différentes géodésiques possibles des photons dans l’espace-temps de Schwarzschild

Coordonnée radiale d’émission	Paramètre d’impact	Signe de \(\frac{d\varphi}{dt}\)	Extremum de \(r\)	Description
\(]r_{crit},+\infty[\)	\(]b_{crit},b_{max}]\)	\(+\)	périastre \(r_{min}=r_{per}\)	photon entrant depuis \(r_{em}\) puis sortant vers l’\(\infty\)
\(]r_{crit},+\infty[\)	\(b_{crit}\)	\(+\)	\(r_{min}=r_{crit}\)	photon entrant depuis \(r_{em}\) puis rejoignant l’orbite instable \(r=r_{crit}\)
\([R_s,r_{crit}[\)	\([b_{crit},b_{max}]\)	\(+\)	NA	photon entrant depuis \(r_{em}\) dans l’horizon des évènements
\([R_s,+\infty[\)	\([0,b_{crit}[\)	\(+\)	NA	photon entrant depuis \(r_{em}\) dans l’horizon des évènements
\([R_s,r_{crit}[\)	\(]b_{crit},b_{max}]\)	\(-\)	apoastre \(r_{max}=r_{apo}\)	photon sortant depuis \(r_{em}\) puis entrant dans l’horizon des évènements
\([R_s,r_{crit}[\)	\(b_{crit}\)	\(-\)	\(r_{min}=r_{crit}\)	photon sortant depuis \(r_{em}\) puis rejoignant l’orbite instable \(r=r_{crit}\)
\(]r_{crit},+\infty[\)	\([b_{crit},b_{max}]\)	\(-\)	NA	photon sortant depuis \(r_{em}\) vers l’\(\infty\)
\([R_s,+\infty[\)	\([0,b_{crit}[\)	\(-\)	NA	photon sortant depuis \(r_{em}\) vers l’\(\infty\)
\(r_{crit}\)	\(b_{crit}\)	\(+/-\)	\(r=r_{crit}\)	photon sur l’orbite instable \(r=r_{crit}\)
\(r_{crit}\)	\(]b_{crit},+\infty[\)	NA	NA	cas impossible car \(b>b_{max}=\frac{r_{crit}}{\sqrt {1-{\frac {Rs}{r_{crit}}}}}=b_{crit}\)

1. https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Methode-de-Cardan.html ↩︎
2. https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Methode-de-Cardan.html ↩︎
3. https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Methode-de-Cardan.html ↩︎
4. https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Methode-de-Cardan.html ↩︎
5. https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Methode-de-Cardan.html ↩︎
6. https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Methode-de-Cardan.html ↩︎