GRAVITATION

Calcul de \(L\) et \(\frac{dL}{d\varphi}\)

En remplaçant \(du\over d\varphi\) par sa valeur (2.k) dans l’expression \(\tan L=\frac {1}{u}{du \over d\varphi}\), il vient :
\(\tan L=\pm\sqrt{\frac{R_s}{b^2u}-1+\frac{1}{b^2u^2}}=\pm\sqrt{\frac{R_sr}{b^2}-1+\frac{r^2}{b^2}}\hspace{2cm}\)(2.u)
sachant que \({dL \over d\varphi}=\frac{d\tan L(\varphi)\over d\varphi}{1+\tan^2 L(\varphi)}=\frac{d\left({1\over u}\frac{du}{d\varphi}\right)\over d\varphi}{1+\tan^2 L(\varphi)}\), il vient :
\({dL\over d\varphi}=\frac{\frac{1}{u}{d^2u \over d\varphi^2}-\frac {1}{u^2}\left({du\over d\varphi}\right)^2}{\frac{R_s}{b^2u}+\frac{1}{b^2u^2}}\)
soit en remplaçant \(d^2u\over d\varphi^2\) et \(\left({du\over d\varphi}\right)^2\) par leurs valeurs respectives données par (2.l) et (2.k) :
\({dL\over d\varphi}=\frac{\frac{1}{u}\left(-u+\frac{R_s}{2b^2}\right)-{1\over u^2}\left(\frac{R_su}{b^2}-u^2+{1\over b^2}\right)}{\frac{R_s}{b^2u}+\frac{1}{b^2u^2}}=-\frac{\left(\frac{R_su}{2}+1\right)}{(R_su+1)}=-\frac{\left(\frac{R_s}{2r}+1\right)}{\left(\frac{R_s}{r}+1\right)}\hspace{2cm}\)(2.v)
applicable aux trajectoires des photons en mécanique classique.

Calcul de \(E_{meca}\)

(2.b) donne \(\left({du\over d\varphi}\right)^2=\frac{G^2M^2}{K^4}e^2\sin^2(\varphi-\varphi_0)\),
soit avec \(e^2\sin^2(\varphi-\varphi_0)=e^2-e^2\cos^2(\varphi-\varphi_0)\)
qui vaut d’après (2.b) \(e^2-\left(\frac{K^2}{GM}u-1\right)^2\) :
\(\left({du\over d\varphi}\right)^2=\frac{G^2M^2}{K^4}(e^2-\left(\frac{K^2}{GM}u-1\right)^2)=\frac{G^2M^2}{K^4}(e^2-1)-u^2+\frac{2GM}{K^2}u.\hspace{2cm}\)(2.w)
Par ailleurs, \(v^2(r,\varphi)=\left({dr\over dt}\right)^2+\left(r{d\varphi\over dt}\right)^2\) donne avec \(r={1\over u}\) :
\(v^2(r,\varphi)=\frac{1}{u^2}\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2\left(\frac{1}{u^2}\left(\frac{du}{d\varphi}\right)^2+1\right)\) et sachant que \(\left(r^2{d\varphi\over dt}\right)^2\) vaut \(K^2\), il vient :
\(v^2(r,\varphi)=K^2\left(\left({du\over d\varphi}\right)^2+\frac{1}{u^2}\right)\)
ce qui donne en remplaçant \(\left({du\over d\varphi}\right)^2\) par sa valeur (2.w) :
\(v^2(r,\varphi)=K^2\left(\frac{G^2M^2}{K^4}(e^2-1)+\frac{2GMu}{K^2}\right)=\frac{G^2M^2}{K^2}(e^2-1)+2GMu.\hspace{2cm}\)(2.x)
Sachant que \(E_{meca}={1\over 2}mv^2(r,\varphi )-GmMu\), (2.x) permet alors d’établir :
\(E_{meca}=\frac{G^2mM^2}{2K^2}(e^2-1)+GmMu-GmMu=\frac{(GmM)^2}{2mK^2}(e^2-1).\hspace{2cm}\)(2.y)

Photon émis depuis une source lumineuse non située à l’infini

La conservation de l’énergie mécanique permet de déterminer la vitesse théorique du photon \(p\) à l’infini en considérant qu’à l’émission sa distance \(r_{em}\) est \(\geq R_s\) et sa vitesse est \(c\) :
\({1\over 2}v_{\infty}^2={1\over 2}c^2-\frac{GM}{r_{em}}\) soit \(v_{\infty}=c\sqrt{1-\frac {Rs}{r_{em}}}\) ce qui donne avec (2.c) et (2.d) respectivement :
\(u(\varphi)=\frac{R_s}{2b^2\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)}(1+e\cos(\varphi-\varphi_0))\) avec au périastre \(r_{per}=\frac{2b^2\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)}{R_s(1+e)}\) et
\(e=\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)^2}\)
L’axe de symétrie \(\varphi_0\) s’obtient avec la condition initiale \(u(\varphi_{em})=\frac {R_s}{2b^2(1-\frac{R_s}{r_{em}})}(1+e\cos(\varphi_{em}-\varphi_0))=\frac{1}{r_{em}}\) soit :
\(\varphi_0=\varphi_{em}+\arccos\left(\frac{\frac{2b^2\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)}{r_{em}R_s}-1}{\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)^2}}\right)\)
Le cas très particulier d’une trajectoire circulaire de rayon \(R_c\) autour de l’objet massif et parcourue à la vitesse de la lumière dans le vide s’obtient en prenant \(K=cR_c\) (émission du photon tangentiellement au cercle de rayon \(R_c\)) et \(e=0\) dans (2.b) et en écrivant \(u=const={1\over R_c}\) soit :
\({1 \over R_c}=\frac{GM}{c^2R_c^2}\) ou : \(R_c=\frac{GM}{c^2}={R_s\over 2}\).
En mécanique classique, il s’agit du seul cas où les trajectoires des photons se font avec une vitesse invariante et égale à \(c\).

Particule avec vitesse nulle à l’infini et \(K\) non nul

Pour \(v_{\infty}=0\), le paramètre d’impact \(b=\frac{K}{v_{\infty}}\) n’est pas défini.
L’énergie mécanique \(E_{meca}\) est nulle ce qui entraîne d’après (2.y) une excentricité \(e=1\) soit une trajectoire parabolique.
(2.b) donne : \(u(\varphi)=\frac{c^2R_s}{2K^2}(1+\cos(\varphi-\varphi_{0}))\) avec au périastre \(r_{per}=\frac{2K^2}{c^2R_s}\).
L’axe de symétrie avec la condition initiale \(u(0)=0\) s’obtient avec \(\cos\varphi_0=-1\) soit \(\varphi_0=\pi\), ce qui donne \(u(\varphi)=\frac{c^2R_s}{2K^2}(1-\cos\varphi)\) et une déviation totale \(2\varphi_0-\pi=\pi\).
Si l’objet massif est une sphère de rayon \(R\), la condition pour que la particule n’impacte pas l’objet massif est \(R>r_{per}\) soit \(K>K_{lim}=c\sqrt{RR_s}\).

Équation cartésienne

\(r=\frac{2K^2}{c^2R_s}+r\cos \varphi\) soit \(\sqrt{x^2+y^2}=\frac{2K^2}{c^2R_s}+x\).
Au carré, cette égalité devient : \(x^2+y^2=\frac{4K^4}{c^4R_s^2}+\frac {4K^2}{c^2R_s}x+x^2\), soit :
\(x=\frac{c^2R_s}{4K^2}y^2-\frac{K^2}{c^2R_s}=\frac{y^2}{4r_{per}}-r_{per}\).

Particule émise depuis \(R_s\ (r_{em} = R_s)\) à la vitesse \(c\)

\(E_{meca}\) vaut \({1\over 2}mc^2-\frac{GmM}{R_s}\) qui est nul puisque par définition \(R_s=\frac{2GM}{c^2}\) ce qui entraîne d’après (2.w) une excentricité \(e=1\) et une trajectoire parabolique.
La vitesse du photon \(p\) à l’infini \(v_{\infty}\) sera nulle puisque \(E_{meca}=0\).
Si \(\alpha_{em}\) est l’angle d’émission par rapport à l’axe \(O_x\), les coordonnées du vecteur vitesse \(c\) initial de \(p\) dans le repère \(O_{xy}\) sont \(c_x=c\ \cos\alpha_{em}\) et \(c_y=c\ \sin\alpha_{em}\) et
\(K=||\overrightarrow{OP}\land\vec{v}||=x_{em}c_y-y_{em}c_x\) vaut
\(cR_s(\sin\alpha_{em}\cos\varphi_{em}-\cos\alpha_{em}\sin\varphi_{em})\) soit \(cR_s\sin(\alpha_{em}-\varphi_{em})\).
Avec l’angle d’émission \(L_{em}=\frac{\pi }{2}-(\alpha_{em}-\varphi_{em})\) (angle avec le plan tangent à la sphère de rayon \(R_s\) au point d’émission), et \(L_{em}\neq\frac{\pi}{2}\), (2.b) donne alors
\(u(\varphi)=\frac{1+\cos(\varphi-\varphi_0)}{2R_s\cos^2L_{em}}\) avec \(r_{per}=R_s\cos^2L_{em}\).
L’axe de symétrie \(\varphi_0\) s’obtient avec la condition initiale \(u(\varphi_{em})=\frac{1+\cos(\varphi_{em}-\varphi_0)}{2R_s\cos^2L_{em}}={1\over R_s}\) soit
\(\varphi_0=\varphi_{em}+\arccos(2\cos^2L_{em}-1)\)
et \(K\) vaut \(cR_s\cos L_{em}\).
Pour \(L_{em}=0\) (émission dans le plan tangent à la sphère de rayon \(R_s\)), la trajectoire du photon est une demi-parabole avec \(K=cR_s=\frac{2GM}{c}\), tangente à la sphère puisque \(r_{per}=R_s\), et qui peut être parcourue dans les deux sens (particule émise à la vitesse \(c\) depuis \(R_s\) ou entrante depuis l’infini à vitesse nulle).
La déviation totale est \(\pi\) pour la parabole complète.
Note : le cas \(L_{em}=\frac{\pi}{2}\) correspond à une trajectoire radiale (\(\varphi=cte=\varphi_{em}\)).

Impact d’un photon entrant depuis l’infini à la vitesse \(c\)

En mécanique classique, lorsque le paramètre d’impact \(b\) des trajectoires des photons est inférieur à \(b_{lim}\), le photon \(p\) impacte l’objet massif de rayon \(R\), et (2.j) avec \(u={1\over R}\) donne :
\(\frac{RR_s}{2b^2}(1+e\cos(\varphi_{impact}-\varphi_0))=1\hspace{2cm}\)(2.z),
ce qui conduit, après développement en remplaçant \(e\) et \(\varphi_0\) par leur valeur respective donnée par (2.g) et (2.h), à :
\(\varphi_{impact1}=\arccos\left(\frac{1}{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}\left(1-\frac{2b^2}{RR_s}-\frac{4b^2}{RR_s^2}\sqrt{R^2+RR_s-b^2}\right)\right)\)
et \(\varphi_{impact2}=\arccos\left(\frac{1}{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}\left(1-\frac{2b^2}{RR_s}+\frac{4b^2}{RR_s^2}\sqrt{R^2+RR_s-b^2}\right)\right)\hspace{2cm}\)(2.aa)
avec \(\varphi_{impact}=\min(\varphi_{impact1},\varphi_{impact2}\)), l’autre angle correspondant à la « sortie » de l’objet massif si \(p\) pouvait le traverser.
Par ailleurs, les expressions de \(\varphi_{impact1}\) et \(\varphi_{impact2}\) en \(\arcsin\) peuvent s’écrire :
\(\varphi_{impact1}=\arcsin\left(\frac{2b}{R_s}\frac{1}{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}\left(\frac{2b^2}{RR_s}-1+\frac{4b^2}{RR_s^2}\sqrt{R^2+RR_s-b^2}\right)\right)\)
et \(\varphi_{impact2}=\arcsin\left(\frac{2b}{R_s}\frac{1}{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}\left(\frac{2b^2}{RR_s}-1-\frac{4b^2}{RR_s^2}\sqrt{R^2+RR_s-b^2}\right)\right)\hspace{2cm}\)(2.ab)
\(L\) défini précédemment représente pour \(\varphi=\varphi_{impact}\) l’angle d’impact de \(p\) (angle avec le plan tangent au point d’impact à l’objet massif).
Pour \(r=R\), (2.u) donne \(\tan L_{\varphi_{impact}}=\pm\frac{\sqrt{R^2+RR_s-b^2}}{b}=\pm\sqrt{\frac{b_{lim}^2}{b^2}-1}\hspace{2cm}\)(2.ac)
Dans le cas où \(b=0\), \(\varphi_{impact}=0\) et \(L_0=\frac{\pi}{2}\).
Dans le cas où \(b=b_{lim}\), \(\varphi_{impact}\) admet une racine double obtenue en remplaçant \(b_{lim}\) par sa valeur (2.n) :
\(\varphi_{impact}=\arccos\left(\frac{-R_s}{R_s+2R}\right)\hspace{2cm}\)(2.ad), qui n’est autre que \(\varphi _0\),
et \(L_{\varphi _{impact}}=0\), ce qui signifie que \(p\) tangente la surface de l’objet massif au point d’impact.

Contraction des directions angulaires

Un observateur placé à la surface de l’objet massif au point d’impact relève une direction \(\varphi_{apparent}=\frac{\pi}{2}-L_{\varphi_{impact}}\) pour une direction réelle d’émission \(\simeq\varphi_{impact}\) (en considérant que \(R\ll\) distance d’émission du photon).
Lorsque le rayon \(R\) de l’objet massif vaut \(R_s\), des valeurs numériques exactes peuvent être obtenues pour certaines conditions.

\(b\) proche de \(0\)

(2.aa) entraîne : \(\varphi_{impact1}\simeq\frac{2b}{R_s}\left(\frac{b_{lim}}{R}-1\right)\)
et (2.ac) entraîne : \(\cot L_{\varphi_{impact1}}\simeq\frac{b_{lim}}{b}\), soit \(\varphi_{apparent}=\frac{\pi}{2}-L_{\varphi_{impact1}}\simeq\frac{b}{b_{lim}}\).
D’où \(\frac{\varphi_{apparent}}{\varphi_{impact1}}\simeq\frac{Rs}{2b_{lim}}\left(\frac{1}{\frac{b_{lim}}{R}-1}\right)\)
et pour \(R=R_s\) sachant que \(b_{lim}=\sqrt{2}Rs\) :
\(\lim_{b \to 0}\frac{\varphi_{impact1}}{\varphi_{apparent}}=2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\simeq 1,172\)
qui est le facteur de contraction des directions angulaires au voisinage de \(0\), indépendant de la masse du trou noir.

\(\varphi_{impact}=90^\circ\)

Pour \(R=R_s\), (2.j) donne :
\(\frac{du}{d\varphi}=-\frac{Rs}{2b^2}e\cos\varphi_0=\frac{R_s}{2b^2}\) soit \({1\over u}\frac {du}{d\varphi}=\frac{R_s^2}{2b^2}\) puisque \(u={1\over R_s}\) à l’impact.
Par ailleurs, (2.u) donne : \(\tan L_{\varphi_{impact}}=\sqrt{\frac{2R_s^2}{b^2}-1}\) qui vaut aussi d’après le paragraphe 2.2 de l’étude \({1\over u}{du\over d\varphi}\) soit \(\frac{R_s^2}{2b^2}\) comme vu ci-dessus, d’où l’équation \(\frac{R_s^4}{2b^4}-\frac{2R_s^2}{b^2}+1=0\).
Cette équation en \(\frac{R_s^2}{b^2}\) admet deux racines : \(4\pm 2\sqrt{3}\) d’où les deux valeurs possibles de \(L_{90^\circ}=\arctan(2\mp \sqrt{3})=15^\circ\) ou \(75^\circ\), la 1ère valeur correspondant comme vu précédemment à l’impact et la 2ème à la « sortie » si \(p\) pouvait traverser le trou noir.
D’où : \(\frac{\varphi_{impact}}{\varphi_{apparent}}=\frac{90^\circ}{90^\circ -15^\circ}=1,2\),
qui est le facteur de contraction des directions angulaires pour \(\varphi_{impact}=90^\circ\), indépendant de la masse du trou noir.

\(b=b_{lim}\)

\(\varphi_{impact1}=\varphi_0\) et \(L_{\varphi_{impact1}}=0\) comme vu précédemment, d’où :
\(\frac{\varphi_{impact1}}{\varphi_{apparent}}=\frac{2\varphi_0}{\pi}\)
et pour \(R=R_s\), (2.h) donne :
\(\varphi_0=\arccos\left(-{1\over 3}\right)\)
d’où \(\frac{\varphi_{impact1}}{\varphi_{apparent}}=\frac{2\arccos(-{1\over 3})}{\pi}\simeq 1,216\)
qui est le facteur de contraction des directions angulaires au voisinage de \(\varphi_0\), indépendant de la masse du trou noir.

Contraction des diamètres apparents des étoiles

La contraction des diamètres apparents des étoiles correspond au ratio \(\frac{\Delta L\ réel}{\Delta L\ apparent}\) pour une hauteur \(L\) donnée.
Pour \(b=b_{lim}\) et \(r=R_s\), ce ratio peut se calculer avec (2.v) :
\({dL\over d\varphi}=-\frac{\left(\frac{R_s}{2R_s}+1\right)}{\left(\frac{R_s}{R_s}+1\right)}=-\frac{3}{4}\) d’où \(\frac {\Delta L\ réel}{\Delta L\ apparent}={-d\varphi \over dL}={4\over 3}\).
En synthèse, le calcul analytique appliqué aux trajectoires des photons selon la mécanique classique donne les résultats suivants à l’horizon des évènements :

\(L\ réelle\)	\(L\ apparente\)	\(Facteur\ de\ contraction\)	\(\frac{\Delta L\ réel}{\Delta L\ apparent}\)
\(90^\circ\)	\(90^\circ\)	\(2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\simeq 1,172\)	\(2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\simeq 1,172\)
\(45^\circ\)	\(51,8^\circ\)	\(\simeq 1,178\)	\(\simeq 1,189\)
\(0^\circ\)	\(15^\circ\)	\(\arctan(2-\sqrt {3})=1,2\)	\(\simeq 1,261\)
\(90^\circ-\arccos\left(-{1\over 3}\right)\simeq 19,5^\circ\)	\(0^\circ\)	\(\frac{2\arccos(-{1\over 3})}{\pi}\simeq 1,216\)	\(4\over 3\)