GRAVITATION

INTRODUCTION

La déviation de la lumière par un objet massif à symétrie sphérique est un phénomène prédit par la mécanique classique et par la relativité générale.
Les deux théories donnent cependant des résultats sensiblement différents.
Nous développons ici pour les trajectoires des photons en symétrie sphérique, une méthode de calcul analytique de la trajectoire, des paramètres et de la déviation théorique du photon dans le cadre de la mécanique classique, et une méthode permettant d’obtenir par calcul les paramètres de la trajectoire et par intégrations numériques la trajectoire et la déviation du photon dans le cadre de la relativité générale avec la métrique de Schwarzschild.
Les différences sont mises en évidence par la comparaison des deux cas en prenant à titre d’exemples numériques le soleil comme objet massif et un trou noir de la masse du soleil.
Enfin, différents types de trajectoires d’un photon arrivant depuis l’infini ou émis à proximité d’un trou noir sont discutés dans le cadre de la relativité générale, entraînant certains phénomènes inhabituels qui dépendent des positions de l’observateur et de la source lumineuse.

MÉCANIQUE CLASSIQUE – TRAJECTOIRES DES PHOTONS EN SYMÉTRIE SPHÉRIQUE

Avertissement : l’application de la mécanique classique pour calculer les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique assimile le photon à une particule massique pour pouvoir appliquer les conservations du moment cinétique et de l’énergie mécanique. Elle est faite ici dans un cadre théorique afin de comparer ces résultats avec ceux donnés par la relativité générale. La vitesse d’un photon étant par nature relativiste, les résultats donnés par la mécanique classique ne sont pas conformes aux observations.

Équation générale de la trajectoire

En considérant le système isolé constitué par un objet massif de masse \(M\) et une particule \(p\) de masse \(m\), et en prenant l’hypothèse \(m\ll M\), le centre de gravité du système est pratiquement confondu avec le centre de gravité \(O\) de l’objet massif.
Dans un référentiel galiléen lié à \(O\), la particule \(p\) représentée par un point \(P\) soumise à un champ de force centrale au point \(O\) évolue alors dans le plan défini par son vecteur position \(\overrightarrow{OP}\) et son vecteur vitesse \(\vec{v}\), étant donnée la conservation de son moment cinétique¹.
En définissant un axe \(x\) issu de \(O\), parallèle au vecteur vitesse initial \(\vec{v}\) de \(p\) et de sens opposé, la trajectoire de \(p\) peut être définie par ses coordonnées polaires (\(r\), \(\varphi\)), \(r\) étant la distance \(OP\) et \(\varphi\) l’angle entre l’axe \(O_x\) et le vecteur \(\overrightarrow{OP}\) (phase).
En notant la constante \(K\) norme du moment cinétique par unité de masse qui vaut \(|r^2\frac{d\varphi}{dt}|\) ou encore \(||\overrightarrow{OP}\land\vec{v}||\), avec l’hypothèse \(K\ne 0\) (le cas contraire est traité au paragraphe 2.6.) et avec le changement de variable \(u={1\over r}\), l’équation différentielle du 2^ème ordre permettant de calculer la trajectoire \(u(\varphi)\) est :
\(\frac{d^2u}{d\varphi^2}+u=\frac{GM}{K^2}\)\(\hspace{2cm}\)(2.a)
avec \(G\) constante gravitationnelle, \(M\) masse de l’objet massif et \(K\) défini précédemment.
La solution analytique générale de (2.a) est une conique d’équation :
\(u(\varphi)=\frac{GM}{K^2}(1+e\cos(\varphi-\varphi_0))\)²\(\hspace{2cm}\)(2.b)
L’angle \(\varphi_0\) (axe de la conique) et l’excentricité \(e\) sont les deux constantes d’intégration à déterminer d’après les conditions initiales de \(p\) : position \(u\) et valeur de \(K\).
\(p\) est dit « entrant » si \(r\) est décroissant avec le temps (\(\frac{dr}{dt}<0\)) ou \(u\) croissant (\(\frac{du}{dt}>0\)), et « sortant » si \(r\) est croissant avec le temps (\(\frac{dr}{dt}>0\)) ou \(u\) décroissant (\(\frac{du}{dt}<0\)).

Paramètres \(L\) et \(\frac{dL}{d\varphi}\)

La tangente à la trajectoire au point \(P\) (\(r\) , \(\varphi\)) est la droite qui passe par \(P\) et qui fait un angle \(V\) avec le vecteur position \(\overrightarrow{OP}\) tel que \(\tan V=r\frac{d\varphi}{dr}\).
L’angle complémentaire \(L\) de l’angle \(V\) est défini par \(\tan L=-\cot V={1\over u}\frac{du}{d\varphi}\) et correspond à la hauteur d’observation par rapport au plan perpendiculaire au plan de la trajectoire.
Les expressions analytiques de \(L\) et de \(\frac{dL}{d\varphi}\) sont données dans l’annexe mécanique classique A.1.

Particule arrivant depuis l’infini avec une vitesse non nulle

\(K\) invariant vu précédemment peut se calculer à partir des conditions initiales et sa valeur est alors \(xv_y-yv_x=bv_\infty\), avec \(b>0\).
Remplacer \(K\) par sa valeur dans (2.b) donne :
\(u(\varphi)=\frac{GM}{v_\infty^2b^2}(1+e\cos(\varphi-\varphi_0))\hspace{2cm}\)(2.c)
L’énergie mécanique \(E_{méca}\) = énergie cinétique + énergie potentielle est un invariant³ et sachant que l’énergie potentielle \(-\frac{GmM}{r}\) est nulle pour \(r\ \infty\) soit \(u(0)=0\), \(E_{méca}\) vaut alors \({1\over 2}mv_\infty^2\).
Par ailleurs, \(E_{méca}\) peut s’écrire (voir annexe mécanique classique A.2.) :
\(E_{méca}={1\over 2}\frac{(GmM)^2}{mK^2}(e^2-1)\) soit avec \(K=v_\infty b\) : \(E_{méca}={1\over 2}\frac{(GmM)^2}{mv_\infty^2b^2}(e^2-1)\) ce qui donne avec la valeur initiale vue précédemment : \({1\over 2}mv_\infty^2={1\over 2}\frac{(GmM)^2}{mv_\infty^2b^2}(e^2-1)\) et après calcul :
\(e=\sqrt{1+\frac{v_\infty^4b^2}{G^2M^2}}\hspace{2cm}\)(2.d)
Avec \(u(0)=0\), il vient d’après (2.c) : \(\cos \varphi_0=−{1\over e}\) c’est-à-dire :
\(\varphi_0=\arccos\left(-{1\over e}\right)\hspace{2cm}\)(2.e)
Si \(v(r)\) est la vitesse de \(p\) à la distance \(r\), la conservation de l’énergie mécanique permet d’écrire : \({1\over 2}mv_\infty^2={1\over 2}mv(r)^2-\frac{GmM}{r}\) soit \(v(r)=\sqrt{v_\infty^2+\frac{2GM}{r}}\hspace{2cm}\)(2.f)
En considérant maintenant que \(p\) est un photon, \(v_\infty=c\) vitesse de la lumière dans le vide, ce qui donne par application dans (2.d), (2.e) et (2.f) et avec
\(R_s=\frac{2GM}{c^2}\) (rayon de Schwarzschild) :
\(e=\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}\hspace{2cm}\)(2.g)
\(\varphi_0=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}}\right)\hspace{2cm}\)(2.h)
et \(v(r)=c\sqrt{1+{R_s\over r}}\hspace{2cm}\)(2.i)
ce qui indique qu’en mécanique classique la vitesse du photon n’est pas un invariant.
Dans ce cadre, les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique sont alors d’après (2.c) définies par :
\(u(\varphi)=\frac{R_s}{2b^2}(1+e\cos(\varphi-\varphi_0))\hspace{2cm}\)(2.j)
avec \(e\) et \(\varphi_0\) donnés respectivement par (2.g) et (2.h),
ce qui montre que la trajectoire de \(p\) arrivant depuis l’infini à la vitesse \(c\) est entièrement déterminée par les valeurs du paramètre d’impact \(b\) et de la masse \(M\) de l’objet massif (à travers \(R_s\)).
La dérivée \(\frac{du}{d\varphi}\) vaut \(-\frac{R_s}{2b^2}e\sin(\varphi-\varphi_0)\) qui peut s’écrire aussi : \(\frac{du}{d\varphi}=\sqrt{\frac{R_su}{b^2}-u^2+{1\over b^2}}\) pour \(\varphi<0\) et \(\frac{du}{d\varphi}=-\sqrt{\frac{R_su}{b^2}-u^2+{1\over b^2}}\) pour \(\varphi>0\) \(\hspace{2cm}\)(2.k)
et (2.j) donne : \(\frac{d^2u}{d\varphi^2}=-u+\frac{R_s}{2b^2}\hspace{2cm}\)(2.l)
Il est facile de vérifier que les trajectoires de deux photons \(p_1(R_{s_1},b_1)\) et \(p_2(R_{s_2},b_2)\) avec \(b_2=b_1\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}\) seront identiques au facteur d’homothétie près \(\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}\left(=\frac{M_2}{M_1}\right)\) : \(r_2(\varphi)=\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}r_1(\varphi)\left(=\frac{M_2}{M_1}r_1(\varphi)\right)\).
D’après (2.a), en prenant \(K=bc\) et \(GM={1\over 2}R_s\ c^2\) , cette propriété est généralisable, que le photon arrive de l’infini ou non.
D’après (2.g), l’excentricité \(e\) est supérieure à \(1\) ce qui indique que la trajectoire de \(p\) est une branche d’hyperbole de foyer \(O\), symétrique par rapport à l’angle \(\varphi_0\).
Le cas limite mathématique correspond à l’objet massif réduit à un point matériel de masse \(M\) et à un paramètre d’impact \(b=0\) ce qui donne une excentricité \(e=1\) et une parabole réduite à une demi-droite avec un angle \(\varphi_0=\pi\). \(p\) arrive depuis l’infini, atteint le point matériel \(O\) de masse \(M\) et repart vers l’infini dans la direction d’où il est arrivé.
Il convient de remarquer que le photon \(p\) n’ayant pas de masse, le centre de gravité du système isolé constitué par l’objet massif et le photon est confondu avec le centre de gravité de l’objet massif et que par conséquent dans le cadre de la mécanique classique (2.g) à (2.l) fournissent des valeurs exactes tandis que (2.a) à (2.f) qui s’appliquent à une particule de masse \(m\) donnent des valeurs approchées.

Périastre et paramètre d’impact \(b\) limite

(2.j) admet un maximum absolu \(u\) qui vaut \(u(\varphi_0)=\frac{R_s}{2b^2}(1+e)\).
Cette valeur s’obtient aussi avec (2.k) en annulant \(\frac{du}{d\varphi}\).
Le maximum de \(u\) correspond par définition au minimum de \(r\) (passage au périastre) :
\(r_{pér}={1\over u(\varphi_0)}=\frac{2b^2}{R_s(1+e)}\hspace{2cm}\)(2.m)
La condition pour que \(p\) n’impacte pas l’objet massif est \(r_{pér}>R\) rayon de la sphère représentant la forme de l’objet massif, soit :
\(\frac{2b^2}{R_s(1+e)}>R\).
En remplaçant \(e\) par sa valeur donnée par (2.g), il vient après un calcul simple non détaillé ici :
\(b>b_{lim}=R\sqrt{1+\frac{R_s}{R}}\hspace{2cm}\)(2.n) ou \(b_{lim}=R\sqrt{1+\frac{2GM}{c^2R}}\)
\(p\) arrive depuis l’infini et continue vers l’infini, après avoir été dévié par l’objet massif à une distance minimale \(r_{pér}\).
Ainsi, il existe toujours une valeur \(b=b_{lim}\) qui permet au photon de « tangenter » l’objet massif, quelle que soit sa masse \(M\) ou son rayon \(R\) non nul.
Par ailleurs, (2.j) implique que les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique sont symétriques par rapport à l’axe \(\varphi_0\).

Déviation totale

Sous réserve que \(p\) n’impacte pas l’objet massif \(b>b_{lim}\) la trajectoire est symétrique par rapport à l’angle \(\phi_0\) ce qui permet avec (2.h) de calculer la déviation totale de \(p\), à partir de l’angle total \(2\varphi_0\) et de l’angle sans déviation \(\pi\) :
Déviation totale = \(2\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}}\right)-\pi\hspace{2cm}\)(2.o) avec \(R_s=\frac{2GM}{c^2}\)
(2.o) donne la déviation totale exacte de \(p\) soumis à un champ gravitationnel généré par un objet massif de masse \(M\), \(p\) étant supposé arriver depuis l’infini et continuer vers l’infini.
Par conséquent, les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique
admettent en mécanique classique un maximum pour \(b=b_{lim}\) qui correspond à la valeur minimale de \(-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}}\) soit \(-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4b{lim}^2}{R_s^2}}}\) ce qui donne en remplaçant \(b_{lim}\) par sa valeur (2.n) :
Déviation totale maximale = \(2\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2R}{R_s}}}\right)-\pi\hspace{2cm}\)(2.p)
Dans le cas limite mathématique du point matériel \(R=0\), la déviation totale maximale vaut \(\pi\).

Approximation de la déviation totale

Pour \(2b\gg R_s\), la déviation totale peut être approximée.
Dans ce cas \(\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}}\simeq\sqrt{\frac{4b^2}{R_s^2}}=\frac{2b}{R_s}\) et (2.o) donne alors :
Déviation totale \(\simeq 2\arccos\left(-\frac{R_s}{2b}\right)-\pi\hspace{2cm}\)(2.q) avec \(\frac{R_s}{2b}\ll1\)
Au voisinage de \(h=0\), le développement limité de \(\arccos(h)\) au premier ordre permet d’écrire :
\(\arccos(h)\simeq\frac{\pi}{2}-h\), soit puisque \(\frac{R_s}{2b}\) est très petit :
\(\arccos\left(-\frac{R_s}{2b}\right)\simeq\frac{\pi}{2}+\frac{R_s}{2b}\)
ce qui donne finalement d’après (2.q) :
Déviation totale \(\simeq\frac{R_s}{b}\left(=\frac{2GM}{c^2b}\right)\hspace{2cm}\)(2.r)
La déviation totale maximale donnée par (2.p) peut s’approximer de la même façon pour \(\frac{R_s}{R}\ll1\) :
Déviation totale maximale = \(2\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2R}{R_s}}}\right)-\pi\simeq\frac{R_s}{R+\frac{R_s}{2}}\left(=\frac{1}{\frac{c^2R}{2GM}+{1\over 2}}\right)\hspace{2cm}\)(2.s)
ou aussi avec (2.r) :
Déviation totale maximale \(\simeq\frac{R_s}{b_{lim}}=\frac{R_s}{R\sqrt{1+\frac{R_s}{R}}}\simeq\frac{R_s}{R+\frac{R_s}{2}}\)

Impact

Comme vu précédemment, si \(b<b_{lim}\), \(p\) impacte l’objet massif.
Dans le cas d’un objet compact de rayon \(R_s\), la condition \(b<b_{lim}\) entraîne d’après (2.h) :
\(\varphi_0<\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4b_{lim}^2}{R_s^2}}}\right)\) soit en remplaçant \(b_{lim}\) par sa valeur (2.n) :
\(\varphi_0<\arccos\left(-{1\over 3}\right)\simeq 109,5^\circ\)
(2.k) donne pour un photon entrant et \(\frac{d\varphi}{dt}>0\), \(u={1\over R_s}\) et \(\tan L={1\over u}\frac{du}{d\varphi}\) :
\(\tan L_{impact}=R_s\sqrt{\frac{2}{b^2}-{1\over R_s^2}}\) soit \(L_{impact}=\arctan\sqrt{\frac{2R_s^2}{b^2}-1}\)

Photon émis par une source lumineuse non située à l’infini

La trajectoire d’un photon \(p\) entrant ou sortant et émis depuis une source lumineuse non située à l’infini avec un angle de phase \(\varphi_{em}\) et une distance \(r_{em}>R_s\) est une branche d’hyperbole qui s’obtient de manière similaire aux calculs vus précédemment à partir de l’équation (2.a), des conditions initiales à l’émission, et de la conservation du moment cinétique et de l’énergie mécanique, qui permettent notamment de déterminer son excentricité et son axe, en considérant qu’à la position initiale (\(r_{em},\varphi_{em}\)) sa vitesse est \(c\) (voir annexe mécanique classique A.3. pour les calculs) :
\(u(\varphi)=\frac{R_s}{2b^2(1-\frac{R_s}{r_{em}})}(1+e\cos(\varphi-\varphi_0))\)
avec \(e=\sqrt{1+\frac{4b^2}{Rs^2}\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)^2}\) et
\(\varphi_0=\varphi_{em}+\arccos\left(\frac{\frac{2b^2\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)}{r_{em}R_s}-1}{\sqrt{1+\frac{4b^2}{R_s^2}\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)^2}}\right)\)
Le périastre \(r_{per}\) vaut \(\frac{2b^2\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)}{R_s(1+e)}\) et pour un objet massif de rayon \(R\), \(b_{lim}\) s’obtient en écrivant \(\frac{2b^2\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)}{R_s(1+e)}>R\)
ce qui donne en remplaçant \(e\) par sa valeur et après un calcul simple non détaillé ici :
\(b>b_{lim}=R\sqrt{1+\frac{R_s}{R\left(1-\frac{R_s}{r_{em}}\right)}}\) condition pour que le photon n’impacte pas l’objet massif.
Par ailleurs, la conservation de l’énergie mécanique permet de déterminer la vitesse de \(p\) fonction de \(r\) :
\({1\over 2}v(r)^2-\frac{GM}{r}={1\over 2}c^2-\frac{GM}{r_{em}}\)
soit \(v(r)=c\sqrt{1-\frac{R_s}{r_{em}}\left(1-\frac{r_{em}}{r}\right)}\hspace{2cm}\)(2.t)

Photon émis depuis la surface de l’objet massif

La trajectoire d’un photon \(p\) sortant de la surface d’un objet massif de masse \(M\) et de rayon \(R>R_s\) est une branche d’hyperbole, et l’excentricité et l’axe, ainsi que la vitesse \(v(r)\) de \(p\) s’obtiennent en remplaçant \(r_{em}\) par \(R\) dans les égalités du paragraphe 2.4.
A l’infini, \(v_\infty=c\sqrt{1-\frac{R_s}{R}}\) (en mécanique classique la vitesse du photon n’est pas un invariant).
Si \(R=R_s\), l’énergie mécanique de \(p\) est nulle et \(v_\infty=0\).
Si \(R<R_s\), l’énergie mécanique de \(p\) est < 0, ce qui conduit à une excentricité < 1 (voir annexe mécanique classique A.2. (2.y)) : \(p\) suivra une orbite elliptique autour de l’objet massif.
Si \(R={R_s\over 2}\) et que le photon est émis tangentiellement à la surface de l’objet massif, l’excentricité est nulle : \(p\) suivra une orbite circulaire à vitesse \(c\) constante à la surface de l’objet massif.
En mécanique classique, il s’agit du seul cas où les trajectoires des photons se font avec une vitesse invariante et égale à \(c\) (voir annexe mécanique classique A.3.).

Vitesse nulle à l’infini et moment cinétique non nul

Photon émis depuis \(R_s\) à la vitesse \(c\)

Moment cinétique nul – Trajectoires radiales

La nullité de \(K=|r^2\frac{d\varphi}{dt}|\) entraîne \(r\) et/ou \(\frac{d\varphi}{dt}\) = 0.
Le cas \(r=0\) est le cas trivial où \(p\) est situé au centre de gravité \(O\) de l’objet massif et n’a pas de mouvement.
Le cas \(\frac{d\varphi}{dt}=0\) signifie que \(\varphi\) garde sa valeur initiale et la trajectoire de \(p\) se fait sur un axe \(\varphi_{initial}\) constant (pas de déviation) qui correspond à une trajectoire radiale.
Un photon \(p\) entrant depuis l’infini (ou depuis une coordonnée \(r_{em}>R\) rayon de l’objet massif) sur l’axe \(O_x\), avec une vitesse initiale nulle ou \(<0\), restera sur cet axe en impactant l’objet massif lorsque \(r\) atteindra \(R\).
Un photon \(p\) sortant depuis une coordonnée \(r_{em}>R\) sur l’axe \(O_x\), avec une vitesse initiale \(>0\), restera sur cet axe en allant vers l’infini.
La conservation de l’énergie mécanique s’applique et les équations (2.i) et (2.t) restent valables, \(v(r)\) représentant la vitesse de \(p\) sur l’axe \(O_x\) de la trajectoire.

Application numérique

Avertissement : les valeurs numériques calculées ci-dessous pour les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique dans le cadre de la mécanique classique sont données mathématiquement avec 15 chiffres, ce niveau de précision n’ayant pas de sens physique. Les résultats avec chiffres significatifs (liés à la précision des valeurs d’entrée \(G\), \(c\), \(M\) et \(R\), et à la formule de calcul) sont fournis entre parenthèses.

Photon arrivant depuis l’infini et soumis au champ gravitationnel du soleil

En prenant l’hypothèse que l’objet massif est le soleil, et connaissant les valeurs des constantes :
\(G\) constante gravitationnelle \(6,6743\ 10^{-11}m^3.kg^{-1}.s^{-2}\)
\(c\) vitesse de la lumière dans le vide \(299\ 792 \ 458\ m.s^{-1}\)
\(M\odot\) masse du soleil \(1,9891\ 10^{30}\ kg\)
\(R\odot\) rayon du soleil \(6,96342\ 10^8\ m\)
\(R_s\) rayon de Schwarzschild calculé \(2\ 953,235415823111\ m\ (2\ 953\ m)\),
les valeurs numériques \(b_{lim}\), \(e\), \(r_{per}\), \(v_{max}\), \(\varphi_0\) et la déviation totale se calculent comme suit :
(2.n) donne \(b_{lim}=6,963434766161423\ 10^8\ m\ (6,96342\ 10^8\ m)\)
En choisissant \(b=b_{lim}\) (cas où le photon passe au plus près du soleil) :
(2.g) donne \(e=4,715800663142369\ 10^5\ m\ (4,716\ 10^5\ m)\)
(2.m) donne la valeur au périhélie \(r_{pér}=6,96342\ 10^8\ m=R\odot=\) rayon du soleil, puisque \(b=b_{lim}\),
(2.j) permet de calculer pour \(r=r_{pér}\) : \(v_{max}=1,000002120532931\ c\ (1,000002121\ c)\)
(2.h) donne \(\varphi_0=1,5707984473255794\ rad\ (1,57079845\ rad)\),
soit une déviation totale exacte \(=2\varphi_0−\pi=4,241061365650722\ 10^{-6}\ rad\)
\(=0, 8747817008679921\ seconde\ d’arc\ (0,875\ seconde\ d’arc)\)
\(\frac{R_s}{2b}\) vaut \(2,12\ 10^{-6}\), et en considérant cette très faible valeur, l’utilisation de l’approximation (2.r) est justifiée et donne une déviation totale \(\simeq \frac{R_s}{b}=4,2410613655408384\ 10^{-6}\ rad\) qui ne diffère de la valeur exacte ci-dessus qu’au \(11^{ème}\)chiffre.
Comme vu précédemment (2.p) puisque \(b=b_{lim}\), la valeur de la déviation totale est ici la valeur maximale possible pour un photon non absorbé par le soleil.

Photon arrivant depuis l’infini et soumis au champ gravitationnel d’un trou noir

En considérant que le trou noir est assimilable à une sphère de masse \(M\), son rayon \(R\) physique est par définition inférieur ou égal à \(R_s=\frac{2GM}{c^2}\).
En prenant \(M\) = masse du soleil et \(R=R_s\), les formules référencées ci-dessus donnent :
\(b_{lim}=4\ 176,505577937591\ m\ (4\ 176,5\ m)\).
En choisissant \(b=b_{lim}\) (cas où le photon passe au plus près du trou noir) :
\(e=3\),
\(r_{pér}=2\ 953,235415823111\ m\ (2\ 953\ m)=R_s\) puisque \(b=b_{lim}\),
\(v_{max}=\sqrt{2}c\),
\(\varphi_0=1,9106332362490186\ rad\ (1,91063324\ rad)\),
soit une déviation totale exacte =\(2\varphi_0-\pi=0,6796738189082441\ rad\)
\(=38,9424412689814°\ (38,9^\circ)\), en notant que \(\frac{Rs}{2b}\) vaut \(0,354\) ce qui ne permet pas l’approximation (2.r).
En supposant qu’un observateur puisse résister à la gravité générée par le trou noir et qu’il regarde dans la direction opposée à celui-ci, les phénomènes suivants apparaîtront suivant la position de l’observateur :

Observateur placé à une distance \(r\)

A une distance suffisante du trou noir (\(r>5\ 900\ m\) environ), l’observateur verrait chacune des étoiles situées très précisément à la hauteur \(−90^\circ\) (soit sur l’axe passant par l’observateur et le centre du trou noir), sous la forme d’un cercle lumineux très fin centré sur cet axe qui pourrait être nommé « cercle de Newton© » (équivalent de l’ « anneau d’Einstein » mentionné plus loin en relativité générale).

Observateur placé à la distance \(r=R_s\)

Le calcul analytique montre que l’observateur verrait les étoiles visibles dont la hauteur réelle est comprise entre \(90^\circ\) et \(−19,5^\circ\) environ (\(90^\circ-\arccos\left(-{1\over 3}\right)\)), voir précédemment paragraphe 2.3.4.), le facteur de « contraction » étant léger pour les hauteurs proches de \(90^\circ\) (\(1,17\) environ), et un peu plus prononcé pour les hauteurs proches de \(0^\circ\) (\(1,22\) environ).
Ce phénomène s’applique également aux diamètres apparents des étoiles, qui sont inférieurs aux diamètres réels avec un facteur maximal de contraction de \(4\over 3\) pour la hauteur \(0^\circ\).
Se reporter à l’annexe mécanique classique A.5. pour plus de détail.

Photon émis depuis \(r_{em}=R_s\)

(2.t) montre que \(v_\infty=0\) (la vitesse du photon s’annule à l’infini).
Lorsque le photon est émis tangentiellement (\(L_{em}=0\)), la trajectoire parabolique est aussi celle d’un photon entrant à une vitesse nulle à l’infini avec \(K=cR_s=\frac{2GM}{c}\) (voir annexe mécanique classique A.4.).
La déviation totale est \(\frac{\pi}{2}\) pour le photon sortant depuis \(r_{em}=R_s\) vers l’infini et \(\pi\) pour le photon entrant depuis l’infini et sortant vers l’infini.
Cette déviation est supérieure à celle vue précédemment au paragraphe 2.7.2 qui considère que le photon a une vitesse \(c\) à l’infini.

RELATIVITÉ GÉNÉRALE – TRAJECTOIRES DES PHOTONS EN SYMÉTRIE SPHÉRIQUE

Équation générale de la trajectoire

Le photon est soumis à un champ gravitationnel généré par un objet massif de masse \(M\).
En considérant que le champ gravitationnel est à symétrie sphérique et en utilisant le système de coordonnées (\(ct,\ r,\ \varphi,\ \theta\)), le produit scalaire \(\overrightarrow{dP}.\overrightarrow{dP}\) d’un déplacement élémentaire \(\overrightarrow{dP}\) du photon est défini par le tenseur métrique de Schwarzschild (voir ses limites en conclusion) et s’écrit :
\(g(dP,dP)=g_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}\)
\(=-\left(1-\frac{R_s}{r}\right)c^2dt^2+\left(\frac{1}{1-\frac{R_s}{r}}\right)\ dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta\ d\varphi^2\)⁴\(\hspace{2cm}\)(3.a)
avec \(g_{\alpha\beta}\) coefficients de la matrice du tenseur, \(dx^{\alpha}\) et \(dx^{\beta}\) coordonnées du déplacement élémentaire (\(cdt\), \(dr\), \(d\varphi\) ou \(d\theta\)), \(c\) vitesse de la lumière dans le vide (invariante) et \(R_s=\frac{2GM}{c^2}\) (rayon de Schwarzschild).
Dans la région asymptotique \(r\gg R_s\), la coordonnée \(r\) s’interprète comme la distance physique entre le photon et le centre \(O\) de l’objet massif.
Les symétries de la métrique de Schwarzschild impliquent que les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique restent dans un plan, choisi être \(\theta=\frac{\pi}{2}\), ce qui donne :
\(g(dP,dP)=-\left(1-\frac{R_s}{r}\right)c^2dt^2+\left(\frac{1}{1-\frac{R_s}{r}}\right)\ dr^2+r^2d\varphi^2\)⁵\(\hspace{2cm}\)(3.b)
\(\varphi\) est alors la phase du photon se déplaçant dans le plan \(\theta=\frac{\pi}{2}\) avec son repère cartésien \(O_{xy}\).
Le cas \(d\varphi=0\) correspond à une trajectoire radiale (\(\varphi=cte\)) et est traité au paragraphe 3.6.
La quadri-impulsion du photon peut être définie par un vecteur \(\overrightarrow{p}\) à quatre coordonnées (\(p^0,\ p^r,\ p^\varphi,\ p^\theta\)) dans le système de coordonnées de Schwarzschild, avec \(p^\theta=0\) puisque le mouvement du photon s’effectue dans le plan \(\theta=\frac{\pi}{2}\).
Les quantités \(\varepsilon\) et \(l\) définies comme suit :
\(\varepsilon=c\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\ p^0\hspace{2cm}\)(3.c)
\(l=r^2p^\varphi\hspace{2cm}\)(3.d)
qui sont quand \(r\gg R_s\) respectivement l’énergie et le moment cinétique du photon mesurés par un observateur statique (à \(r,\ \varphi\) et \(\theta\) fixés) sont conservées le long de la géodésique du photon⁶.
Pour \(r\gg R_s\), le moment cinétique \(l\) s’écrit aussi \(r^2\frac{d\varphi}{dt}\) : le cas \(l=0\) qui correspond à \(d\varphi=0\) est traité au paragraphe 3.6.
Par ailleurs, la quadri-impulsion \(\overrightarrow{p}\) du photon est un vecteur du genre lumière et son produit scalaire \(\overrightarrow{p}.\overrightarrow{p}\) est donc nul⁷. Il s’écrit :
\(g(p,p)=g_{00}(p^0)^2+g_{rr}(p^r)^2+g_{\varphi\varphi}(p^\varphi)^2=0\hspace{2cm}\)(3.e)
avec les coefficients \(g_{00}\), \(g_{rr}\) et \(g_{\varphi\varphi}\) donnés par (3.a).
(3.c) et (3.d) donnent \((p^0)^2=\left(\frac{1}{1-\frac{R_s}{r}}\right)^2\frac{\varepsilon^2}{c^2}\) et \((p^\varphi)^2=\frac{l^2}{r^4}\), et il vient avec (3.e) :
\((p^r)^2=\frac{\varepsilon^2}{c^2}-\frac{l^2}{r^2}\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\),
soit en posant \(b^2=\frac{c^2l^2}{\varepsilon^2}\), avec \(b\neq 0\) (voir le paragraphe 3.6. pour le cas \(b=0\)) :
\((p^r)^2=l^2\left({1\over b^2}-{1\over r^2}\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\right)\hspace{2cm}\)(3.f)
En introduisant un paramètre affine \(\lambda\) le long de la géodésique lumière tel que :
\(\overrightarrow{p}=l\frac{\overrightarrow{dP}}{d\lambda}\)⁸\(\hspace{2cm}\)(3.g)
et avec \(\overrightarrow{dP}=(cdt,\ dr,\ d\varphi,\ 0)\), les trois coordonnées non nulles de la quadri-impulsion sont : \(p^0=lc\frac{dt}{d\lambda}\), \(p^r=l\frac{dr}{d\lambda}\) et \(p^\varphi=l\frac{d\varphi}{d\lambda}\).
Il vient alors avec (3.f) : \(\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2={1\over b^2}-{1\over r^2}\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\) et avec (3.d) : \(\left(\frac{d\varphi}{d\lambda}\right)^2={1\over r^4}\), soit :
\(\left(\frac{d\varphi}{dr}\right)^2={1\over r^4}\frac{1}{{1\over b^2}-{1\over r^2}\left(1-\frac{R_s}{r}\right)}\), ce qui donne :
\(\frac{d\varphi}{dr}=\pm\frac{1}{r^2\sqrt{{1\over b^2}-{1\over r^2}\left(1-\frac{R_s}{r}\right)}}\hspace{2cm}\)(3.h)
ce qui va permettre de calculer les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique suivant la métrique de Schwarzschild.

Signification de \(b\)

Avec comme vu précédemment \(p^0=lc\frac{dt}{d\lambda}\), \(\varepsilon\) s’écrit d’après (3.c) :
\(\varepsilon=c^2l\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\frac{dt}{d\lambda}\)
d’où \(b=\frac{d\lambda}{dt}{1\over c}\left(\frac{1}{1-\frac{R_s}{r}}\right)\) en remplaçant \(\varepsilon\) par sa valeur dans \(b^2=\frac{c^2l^2}{\varepsilon^2}\).
En écrivant \(\frac{d\lambda}{dt}=\frac{\frac{d\varphi}{dt}}{\frac{d\varphi}{dt}}\), il vient alors \(b=\frac{r^2}{c}\frac{d\varphi}{dt}\left(\frac{1}{1-\frac{R_s}{r}}\right)\simeq\frac{r^2}{c}\frac{d\varphi}{dt}\) pour \(r\gg R_s.\hspace{2cm}\)(3.i)
Par ailleurs, si le photon est émis dans la direction \(x\) avec \(r\gg R_s\), la trajectoire du photon est initialement à \(y\) constant = paramètre d’impact du photon vis-à-vis de l’objet massif, qui s’écrit \(y_{em}=r\sin\varphi\simeq r\phi\) pour \(r\gg R_s\), ce qui donne \(\varphi=\frac{y_{em}}{r}\) soit \(\frac{d\varphi}{dt}=-{1\over r^2}\frac{dr}{dt}y_{em}\).
En prenant \(\frac{dr}{dt}\simeq -c\), il vient \(\frac{d\varphi}{dt}\simeq\frac{c}{r^2}y_{em}\) et (3.i) donne alors \(b=y_{em}\).
\(b\) est donc le paramètre d’impact pour un photon arrivant depuis l’infini.

Dans la suite de l’étude, \(p\) désigne le photon.
Avec le changement de variable \(u={1\over r}\), \(\frac{du}{dr}=-u^2\) et (3.h) devient :
\(\frac{\left(\frac{d\varphi}{dr}\right)^2}{\left(\frac{du}{dr}\right)^2}=\frac{u^4}{\left({1\over b^2}-u^2(1-R_su)\right)u^4}\) soit : \(\left(\frac{d\varphi}{du}\right)^2=\frac{1}{R_su^3-u^2+{1\over b^2}}\) soit
\(\frac{du}{d\varphi}=\pm\sqrt{R_su^3-u^2+{1\over b^2}}\hspace{2cm}\)(3.j)
équation qui permet de calculer les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique et suivant la métrique de Schwarzschild.
L’équation (3.j) montre d’une part que la trajectoire de \(p\) arrivant depuis l’infini (\(u=0\)) est entièrement déterminée par les valeurs du paramètre \(b\) et de la masse \(M\) de l’objet massif (à travers \(R_s\)) et d’autre part qu’il existe pour un point d’émission donné deux géodésiques possibles pour le photon, qui correspondent à \(\frac{du}{d\varphi}_{initial}>0\) et \(\frac{du}{d\varphi}_{initial}<0\).
Note : dans le cas où \(p\) est émis par une source lumineuse non située à l’infini, (3.j) implique que le paramètre d’impact \(b\) ne peut dépasser une certaine valeur (voir paragraphe 3.4).
\(p\) est dit « entrant » si \(r\) est décroissant avec le temps (\(\frac{dr}{dt}<0\)) ou \(u\) croissant (\(\frac{du}{dt}>0\)), et « sortant » si \(r\) est croissant (\(\frac{dr}{dt}>0\)) ou \(u\) décroissant (\(\frac{du}{dt}<0\)).
L’intégration numérique permettant de calculer \(u(\varphi)\) est discutée au paragraphe 3.7.
S’il existe, l’extremum de \(r\) s’obtient en écrivant \(\frac{dr}{d\varphi}=0\) soit d’après (3.h) :
\(\frac{r^3}{b^2}-r+R_s=0\hspace{2cm}\)(3.k)
La résolution de cette équation dans le contexte de (3.h) et la discussion des trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique et suivant la métrique de Schwarzschild sont détaillées dans l’annexe relativité générale B.2. Les paragraphes ci-dessous en résument les résultats, qui dépendent notamment de la valeur de \(b\) par rapport à une valeur critique :
\(b_{crit}=\frac{3\sqrt{3}}{2}R_s\left(=\frac{3\sqrt{3}\ GM}{c^2}\right)\hspace{2cm}\)(3.l)

Paramètres \(L\) et \(\frac{dL}{d\varphi}\)

Les définitions géométriques de l’angle \(V\) de la tangente à la trajectoire et de son complément \(L\) (voir précédemment paragraphe 2.2) s’appliquent :
\(\tan V=r\frac{d\varphi}{dr}\) et \(\tan L=-\cot V={1\over u}\frac{du}{d\varphi}\).
Les expressions analytiques de \(L\) et de \(\frac{dL}{d\varphi}\) sont données dans l’annexe relativité générale B.1.

Photon arrivant depuis l’infini

Périastre et \(b\) limite

Déviation totale

Sous réserve que \(p\) n’impacte pas l’objet massif (\(b>b_{lim}\)), l’angle total est :
\(2\varphi_0=2\int_{r_{per}}^{\infty}\frac{1}{r^2\sqrt{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{r^2}\left(1-\frac{R_s}{R}\right)}}dr\)⁹\(\hspace{2cm}\)(3.o)
ce qui donne avec l’angle sans déviation \(\pi\) 
Déviation totale = \(2\int_{r_{per}}^{\infty}\frac{1}{r^2\sqrt{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{r^2}\left(1-\frac{R_s}{R}\right)}}dr-\pi\hspace{2cm}\)(3.p)
pour les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique et suivant la métrique de Schwarzschild.

Approximation de la déviation totale

Dans le cas où le rayon \(R\) est \(\gg R_s\), puisque d’après (3.n) \(b>R\), \(b\) est \(\gg R_s\) et un développement limité en \(\frac{R_s}{b}\) permet d’obtenir :
\(2\varphi_0\approx\pi+\frac{2R_s}{b}\)¹⁰\(\hspace{2cm}\)(3.q)
ce qui donne avec l’angle sans déviation \(\pi\) :
Déviation totale \(\simeq\frac{2R_s}{b}\left(=\frac{4GM}{c^2b}\right)\hspace{2cm}\)(3.r)

Rayon apparent d’un objet massif

Le rayon apparent d’un objet massif de rayon \(R\ge {3\over 2}R_s\) est \(b_{lim}\) puisqu’aucun photon de paramètre d’impact \(b<b_{lim}\) ne peut parvenir à l’observateur.
Si l’objet massif a un rayon \(R\le {3\over 2}R_s\), son rayon apparent est \(b_{crit}\) (soit \(\frac{3\sqrt{3}}{2}R_s\)) puisqu’aucun photon de paramètre d’impact \(b<b_{bcrit}\) ne peut parvenir à l’observateur. Il ne dépend pas de \(R\).

Orbite circulaire

Impact

Photon émis depuis une source lumineuse non située à l’infini

Photon émis depuis une source lumineuse de coordonnée radiale appartenant à \([R,\ {3\over 2}R_s]\)

L’objet compact a une masse \(M\) et son rayon \(R\) est supposé compris entre \(R_s\) et \({3\over 2}R_s\).

Apoastre et impact

Si \(b_{crit}<b\le b_{max}\) le maximum de \(r\) vaut : \(r_{apo}=\frac{2b}{\sqrt{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(-\frac{b_{crit}}{b}\right)+\frac{4\pi}{3}\right)\hspace{2cm}\)(3.t)
La coordonnée radiale de \(p\) augmente jusqu’à la valeur \(r_{apo}\) puis diminue et \(p\) impacte l’objet compact.
Comme vu précédemment au paragraphe 3.3.1., (3.j) implique que les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique sont symétriques par rapport à la valeur de l’angle \(\varphi\) à l’apoastre (qui annule \(\frac{du}{d\varphi}\)).
Dans le cas d’un trou noir, (3.j) donne pour \(p\) entrant dans l’horizon des évènements et \(\frac{d\varphi}{dt}>0\) : \(\frac{du}{d\varphi}={1\over b}\) soit \(\tan L_{impact}=\frac{R_s}{b}\).
La condition \(b>b_{crit}\) entraîne alors : \(\tan L_{impact}<\frac{R_s}{b_{crit}}\) soit en remplaçant \(b_{crit}\) par sa valeur (3.l) : \(\tan L_{impact}<\frac{2}{3\sqrt{3}}\) ou bien \(L_{impact}<L_{crit}=\arctan\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right)\simeq 21,1^\circ\).

Orbite circulaire

Libération

Si \(b<b_{crit}\), (3.c) n’admet pas de racine positive ce qui signifie que \(r\) n’a pas de maximum et que \(p\) s’éloigne de l’objet compact vers l’infini, sans condition sur la valeur de \(R\).
Un photon émis depuis l’horizon des évènements \(r=R_s\) peut donc s’en échapper à la condition \(b<b_{crit}\).

Moment cinétique nul à l’infini – Trajectoires radiales

\(d\varphi=0\) (moment cinétique nul à l’infini) signifie que les trajectoires ne sont pas déviées (trajectoires radiales) et (3.a) devient pour une géodésique lumière :
\(-\left(1-\frac{R_s}{r}\right)c^2dt^2+\left(\frac{1}{1-\frac{R_s}{r}}\right) dr^2=0\hspace{2cm}\)(3.u)
(3.u) donne \(c^2dt^2=\frac{dr^2}{\left(1-\frac{R_s}{r}\right)^2}\) soit
\(cdt=\pm\frac{dr}{1-\frac{R_s}{r}}=\pm\frac{rdr}{r-R_s}=\pm\frac{(r-R_s+R_s)\ dr}{r-R_s}=\pm\left(1+\frac{R_s}{r-R_s}\right)dr\)
soit après intégration pour \(r>R_s\) :
1) si \(\frac{dr}{dt}<0\) (photon entrant) : \(ct=-\ r-R_s\ln(r-R_s)+cte\),
2) si \(\frac{dr}{dt}>0\) (photon sortant) : \(ct=r+R_s\ln(r-R_s)+cte\),
les valeurs \(cte\) étant à déterminer suivant les conditions initiales.
Un photon \(p\) entrant sur l’axe \(O_x\) depuis l’infini (ou depuis une coordonnée \(r_{em}>R\) rayon de l’objet compact \(>R_s\) aura une vitesse initiale \(<0\) et restera sur l’axe en impactant l’objet compact lorsque \(r\) atteindra \(R\).
Un photon \(p\) sortant sur l’axe \(O_x\) depuis une coordonnée \(r_{em}>R\ge R_s\) aura une vitesse initiale \(>0\) et restera sur cet axe en allant vers l’infini.

Intégrations numériques

(3.j) permet d’exprimer \(\frac{d\varphi}{du}\), et \(\varphi(u)\) peut alors se calculer analytiquement par une intégrale elliptique de \(\frac{d\varphi}{du}\) quand il existe un périastre, ce qui n’est pas toujours le cas suivant la valeur de \(b\) comme vu précédemment. De plus, le cas d’un photon émis à une coordonnée radiale très proche de \(R_s\) ne peut être traité par cette méthode.
L’intégration numérique de \(\frac{du}{d\varphi}\) donné par (3.j) est possible avec néanmoins pour \(b\ge b_{crit}\) une gestion délicate du changement de signe de \(\frac{du}{d\varphi}\) quand \(r\) atteint \(r_{pér}\) ou \(r_{apo}\).
Cependant, en écrivant :
\(\left(\frac{du}{d\varphi}\right)^2=R_su^3-u^2+{1\over b^2}\hspace{2cm}\)(3.v)
l’équation différentielle du 3^ème ordre (3.v) qui donne les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique et suivant la métrique de Schwarzschild, peut se traiter en évitant la singularité due au changement de signe
\(\frac{du}{d\varphi}=\pm\sqrt{R_su^3-u^2+{1\over b^2}}\)
La dérivation de (3.v) donne en effet : \(2\frac{du}{d\varphi}\frac{d^2u}{d\varphi^2}=3R_su^2\frac{du}{d\varphi}-2u\frac{du}{d\varphi}\) soit :
\(\frac{d^2u}{d\varphi^2}={3\over 2}R_su^2-u\hspace{2cm}\)(3.w)
L’équation différentielle (3.w) peut se résoudre alors numériquement avec les conditions initiales et lever les limites de l’intégrale elliptique de \(\frac{du}{d\varphi}\) vues précédemment.
Il est facile de vérifier que suivant la métrique de Schwarzschild, les trajectoires de deux photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique \(p_1(R_{s_1},b_1)\) et \(p_2(R_{s_2},b_2)\) avec \(b_2=b_1\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}\) seront identiques au facteur d’homothétie près \(\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}\left(=\frac{M_2}{M_1}\right)\) : \(r_2(\varphi)=\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}r_1(\varphi)\left(=\frac{M_2}{M_1}r_1(\varphi)\right)\).

Double intégration – Runge-Kutta ordre 4

(3.w) est une équation avec dérivée seconde qui peut s’intégrer numériquement comme suit par une méthode de Runge-Kutta d’ordre 4¹¹ :
1) avec \(k_1=\frac{d^2u}{d\varphi^2}(u(\varphi))\), \(k_2=\frac{d^2u}{d\varphi^2}\left(u(\varphi)+\frac{\delta \varphi}{2}\frac{du}{d\varphi}\right)\), \(k_3=\frac{d^2u}{d\varphi^2}\left(u(\varphi)+\frac{\delta \varphi}{2}\frac{du}{d\varphi}+\left(\frac{\delta \varphi}{2}\right)^2\ k_1\right)\) et \(k_4=\frac{d^2u}{d\varphi^2}\left(u(\varphi)+\delta \phi\ \frac{du}{d\varphi}+\frac{(\delta \varphi)^2}{2}\ k_2\right)\)
la valeur de \(\frac{du}{d\varphi}\) au pas suivant est :
\(\frac{du}{d\varphi}(\varphi+\delta \varphi)=\frac{du}{d\varphi}(\varphi)+\frac{\delta \varphi}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\), et

2) avec \(l_1=\frac{du}{d\varphi}(u(\varphi))\), \(l_2=\frac{du}{d\varphi}\left(u(\varphi)+\frac{\delta \varphi}{2}l_1\right)\), \(l_3=\frac{du}{d\varphi}\left(u(\varphi)+\frac{\delta \varphi}{2}l_2\right)\) et \(l_4=\frac{du}{d\varphi}(u(\varphi)+\delta \varphi\ l_3)\)
la valeur de \(u\) au pas suivant est :
\(u(\varphi+\delta \varphi)=u(\varphi)+\frac{\delta \varphi}{6}(l_1+2l_2+2l_3+l_4)\)
ce qui s’écrit avec \(l_2=\frac{du}{d\varphi}(\varphi)+\frac{\delta \varphi}{2}k_1\), \(l_3=\frac{du}{d\varphi}(\varphi)+\frac{\delta \varphi}{2}k_2\), \(l_4=\frac{du}{d\varphi}(\varphi)+\delta \varphi\ k_3\) et après développement :
\(u(\varphi+\delta \varphi)=u(\varphi)+\delta \varphi\frac{du}{d\varphi}(\varphi)+\frac{(\delta \varphi)^2}{6}(k_1+k_2+k_3)\)
Le pas de calcul \(\delta \varphi\) peut être choisi constant ou bien adaptatif suivant la précision souhaitée sur la coordonnée radiale \(r\left(={1\over u}\right)\) des trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique.

Conditions initiales

Les conditions initiales de \(\frac{du}{d\varphi}\) et de \(u\) dans un repère fixe \(O_{xy}\) indépendant de la direction initiale du photon se déterminent comme suit, à partir des coordonnées d’émission (\(r_{em}\) , \(\varphi_{em}\)) du photon (\(u_{em}={1\over r_{em}}\)), et deux cas possibles pour \(\frac{du}{d\varphi}\) :
1) photon entrant (\(\frac{du}{dt}>0)\) et \(\frac{d\varphi}{dt}>0\) ou photon sortant (\(\frac{du}{dt}<0)\) et \(\frac{d\varphi}{dt}<0\) : \(\frac{du}{d\varphi}=+\sqrt{R_su_{em}^3-u_{em}^2+\frac{1}{b^2}}\)
2) photon sortant (\(\frac{du}{dt}<0)\) et \(\frac{d\varphi}{dt}>0\) ou photon entrant (\(\frac{du}{dt}>0)\) et \(\frac{d\varphi}{dt}<0\) : \(\frac{du}{d\varphi}=-\sqrt{R_su_{em}^3-u_{em}^2+\frac{1}{b^2}}\)
Si le photon arrive depuis l’infini, \(u_{em}=0\), il est entrant (\(\frac{du}{dt}>0\)) et les deux cas possibles deviennent :
1) \(\frac{du}{d\varphi}={1\over b}\)
2) \(\frac{du}{d\varphi}=-{1\over b}\)
Note : d’après l’égalité de (3.i), si dans le repère fixe \(O_{xy}\) l’angle \(\varphi\) croit avec le temps \(t\) de l’observateur statique alors \(\frac{d\varphi}{dt}=\frac{bc}{r^2}\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\) et si \(\varphi\) décroit \(\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{bc}{r^2}\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\), ce qui montre que tout au long de la trajectoire du photon l’angle \(\phi\) est constamment croissant ou constamment décroissant.

Application numérique

Avertissement : les valeurs numériques calculées ci-dessous pour les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique et suivant la métrique de Schwarzschild, sont données mathématiquement avec 15 chiffres, ce niveau de précision n’ayant pas de sens physique. Les résultats avec chiffres significatifs (liés à la précision des valeurs d’entrée \(G\), \(c\), \(M\) et \(R\) et à la formule de calcul) sont fournis entre parenthèses.
\(G\) constante gravitationnelle \(6,6743\ 10^{-11}\ m^3.kg^{-1}.s^{-2}\)
\(c\) vitesse de la lumière dans le vide \(299\ 792\ 458\ m.s^{-1}\)
\(M\odot\) masse du soleil \(1,9884\ 10^{30}\ kg\)
\(R_s\) rayon de Schwarzschild calculé \(=2\ 953,235415823111\ m\) (\(2\ 953\ m)\)
\(b_{crit}\) calculé \(=\frac {3\sqrt {3}}{2}=7\ 672,730680376143\ m\) (\(7\ 673\ m)\)
\(r_{crit}\) calculé \(={3\over 2}Rs=4\ 429,853123734667\ m\) (\(4\ 430\ m)\)

Photon arrivant depuis l’infini soumis au champ gravitationnel du soleil

\(R\odot\) rayon du soleil \(6,96342\ 10^8\ m\)
(3.n) donne \(b_{lim}=6,963434766224048\ 10^8\ m\) (\(6,96343\ 10^8\ m)\).
En choisissant \(b=b_{lim}\) (cas où le photon passe au plus près du soleil),
(3.m) donne la valeur au périhélie \(r_{pér}=6,96342\ 10^8\ m=R\odot\) rayon du soleil.
\(\frac{Rs}{b}\) vaut \(4,24\ 10^{-6}\), et en considérant cette très faible valeur, l’utilisation de l’approximation (3.q) est justifiée et donne :
\(\varphi_0\simeq 1,570800567856262\ rad\) (\(1,570800568\ rad\)).
(3.r) donne déviation totale \(\simeq 8,482122731005393\ 10^{-6}\ rad=1,7495634016749193\ seconde\ d’arc\) (\(1,750\ seconde\ d’arc\)).
Note : à la précision de mesure près, les photographies du voisinage du disque solaire prises par Arthur Eddington et son équipe lors de l’éclipse totale sur l’île de Principe le 29 mai 1919 ont confirmé cette valeur (qui vaut deux fois la valeur de la théorie de la mécanique classique calculée par (2.p)).

Photon arrivant depuis l’infini et soumis au champ gravitationnel d’un objet compact

Note : le paragraphe 3.8.2. considère un objet compact de la masse du soleil et de rayon physique \(R<r_{crit}\).

Paramètre d’impact \(b>b\) critique

Le photon \(p\) arrive depuis l’infini et continue vers l’infini après avoir été dévié par l’objet compact. La valeur de la déviation est fixée par la valeur de \(b\).
A titre illustratif, à la précision d’intégration près de (3.j) :
une déviation totale de \(\frac{\pi}{2}\) s’obtient avec \(b=9\ 107\ m\) et (3.m) donne la valeur au périastre \(r_{per}=6\ 880\ m\).
Note : \(\frac{Rs}{b}\) vaut \(0,325\), ce qui ne permet pas l’approximation (3.r).
Une déviation totale de \(\pi\) (soit un ½ tour) s’obtient avec \(b=7\ 910\ m\), \(r_{per}=5\ 199\ m\).
Un observateur placé sur une étoile ayant cette valeur de paramètre d’impact verrait dans la direction de l’objet compact sa propre étoile.
\(\frac{3\pi}{2}\) s’obtient avec \(b=7\ 720\ m\), \(r_{per}=4\ 738\ m\).
\(2\pi\) (soit 1 tour autour de l’objet compact) s’obtient avec \(b=7\ 682,4\ m\), \(r_{per}=4\ 563\ m\).
Voir la figure 3 pour le tracé de ces quatre trajectoires.
Une déviation totale de \(4\pi\) (soit 2 tours) est obtenue avec \(b=7\ 672,75\ m\) (soit \(b_{crit}+2\ cm\) environ), \(r_{per}=4\ 435,4\ m\).
Voir la figure 4 pour le tracé de cette trajectoire.
Enfin, une déviation totale de \(8\pi\) (soit 4 tours) est obtenue avec \(b\simeq b_{crit}+7\ 10^{-8}\ m\) et \(r_{per}=4\ 429,864\ m\) (soit \(r_{crit}+1\ cm\) environ).
Note : en s’affranchissant du modulo \(2\pi\), la valeur maximale apparente de la déviation du photon est \(\pi\).

Paramètre d’impact \(b=b\) critique

\(p\) suit une orbite circulaire instable de coordonnée radiale \(r_{crit}\simeq 4\ 429,853\ m\).
Cette valeur est la valeur minimale en deçà de laquelle le photon est absorbé par l’objet compact (voir paragraphe ci-dessous).
Voir la figure 5 pour le tracé de cette trajectoire.

Paramètre d’impact \(b<b\) critique

\(p\) impacte l’objet compact.
Une variation \(\varphi\) de \(\pi\) à l’impact soit ½ tour s’obtient pour \(b=6\ 582\ m\).
Voir la figure 6 pour le tracé de cette trajectoire.

Interprétation des résultats et phénomènes observables à proximité d’un trou noir (\(R\) physique \(< R_s\))

En appliquant le métrique de Schwarzschild pour les trajectoires des photons déviés par trou noir à symétrie sphérique, et en excluant les géodésiques comportant un ou plusieurs tours des photons autour du trou noir, la déviation par le trou noir de la lumière émis par une étoile donnera à un point donné d’observation deux images de l’étoile, correspondant aux deux géodésiques possibles des photons, voir précédemment paragraphe 3.1 (3.j). Si l’observateur n’est pas sur l’axe reliant l’étoile au centre du trou noir, les géodésiques auront un paramètre d’impact b différent.
Voir la figure 7 pour le tracé des deux trajectoires (\(b\) calculés pour des déviations de \(\frac{\pi}{2}\) et \(\pi\), soit ¼ et ½ tour), passant par des points A et B donnés.
De manière générale, la déviation par un trou noir de la lumière émise par chaque étoile visible donnera à un point donné d’observation deux images distinctes à des azimuts opposés, une avec une hauteur positive et l’autre avec une hauteur négative. L’image avec l’angle apparent le plus élevé (la déviation la plus forte) sera celle située à l’azimut opposé à celui de la position réelle de l’étoile par rapport à l’observateur. Chacun des tours effectué par les photons autour du trou noir dupliquera les deux images décrites ci-dessus, la valeur absolue de la hauteur diminuant avec le nombre de tours.

En supposant qu’un observateur puisse s’approcher d’un trou noir et résister à sa gravité, et qu’il regarde dans la direction opposée à celui-ci, les phénomènes suivants dépendront de la position de l’observateur :

Observateur placé à la coordonnée radiale \(r\) critique \(={3\over 2}R_s\)

L’observateur verra toutes les étoiles visibles de l’univers rassemblées dans l’hémisphère située au-dessus de lui.
Par ailleurs, les étoiles ayant chacune des directions différentes d’observation, les orbites circulaires autour du trou noir des photons émis par ces étoiles constituent une surface sphérique de rayon \(r_{crit}\), appelée par la suite « sphère de photons ».
L’ensemble de la sphère de photons n’est pas observable par définition, cependant ses effets le sont : un observateur placé à la coordonnée radiale \(r_{crit}\) verra tout autour de lui à la hauteur \(0^\circ\) une fine ligne très lumineuse qui correspond aux photons décrits ci-dessus et arrivant vers lui.
L’orbite décrite par les photons sur la sphère étant instable, comme vu précédemment au paragraphe 3.8.2.2., des photons peuvent s’en échapper (après un ou plusieurs tours autour du trou noir) et arriver à l’observateur. Dans ce cas, cette image indirecte de la sphère de photons est constituée de plusieurs cercles de rayon dont la valeur limite minimale est \(b_{crit}\).
De plus, si un vaisseau spatial avait son axe longitudinal tangent à la sphère de photons avec ses phares éclairant vers l’avant, un observateur à bord verrait vers l’avant une image très déformée de l’arrière du vaisseau, (largeur très comprimée et hauteur très étirée, avec un renversement haut/bas), la hauteur angulaire de l’image valant \(\arctan\left(\frac {hauteur\ du\ vaisseau}{longueur\ du\ vaisseau}\right)\) (plus le vaisseau sera court, plus la hauteur de son image sera grande).
Les images d’ordre \(n\) correspondant à \(n\) tour(s) des photons autour du trou noir seront des segments verticaux très fins de même hauteur angulaire, qui se superposeront à l’image ci-dessus.
Ces phénomènes sont observables dans toutes les directions tangentes à la sphère de photons : si des projecteurs du vaisseau éclairent dans une de ces directions, l’observateur y verra l’image déformée de la partie du vaisseau située derrière lui.

Observateur placé sur l’extérieur de l’horizon des évènements du trou noir (coordonnée radiale = \(R_s\))

Toutes les étoiles observables de l’univers (supposées situées à une très grande distance de l’observateur) apparaitront « rassemblées » au-dessus de l’observateur dans un disque de hauteur apparente \(L_{crit}\) soit \(21,1^\circ\) environ (\(\arctan\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right)\), voir précédemment paragraphe 3.3.6.), la « contraction » étant faible pour les hauteurs élevées (pas de contraction pour \(90^\circ\)), devenant plus forte pour les hauteurs faibles et tendant vers l’infini pour la limite \(L_{crit}\) de \(21,1^\circ\), les photons devant effectuer plusieurs tours autour du trou noir pour s’approcher de cette limite en rentrant dans l’horizon des évènements). Le pourtour du disque sera constitué par les images des étoiles situées très précisément à la hauteur \(90^\circ\) ou \(-90^\circ\) (voir plus haut). Les diamètres apparents des étoiles sont inférieurs aux diamètres réels, et diminuent de plus en plus sensiblement avec la hauteur. Se reporter à l’annexe relativité générale B.2. pour plus de détail.

Photon émis depuis une coordonnée radiale \(<r\) critique et soumis au champ gravitationnel d’un trou noir de masse \(M\)

Note : les valeurs numériques calculées (\(m\)) dans le paragraphe 3.8.3. sont relatives à un trou noir de la masse du soleil.

Coordonnée radiale d’émission \(r_{em}<R_s\)

Si le photon est émis depuis l’intérieur de l’horizon des évènements, il ne peut s’en rapprocher quelle que soit sa direction d’émission¹², et le photon rejoindra nécessairement le centre \(O\) du trou noir.

Coordonnée radiale d’émission \(r_{em}=R_s\)

Un photon \(p\) sortant d’une source lumineuse placée sur l’extérieur de l’horizon des évènements ne pourra y échapper que si \(b<b_{crit}\), ce qui correspond à un angle d’émission (angle par rapport au plan tangent à la sphère de rayon \(R_s\) au point d’émission) supérieure à \(L_{crit}\) soit \(21,1^\circ\) environ (\(\arctan\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right)\), voir précédemment paragraphe 3.5.1.).
La géodésique du photon pouvant être parcourue dans un sens ou dans l’autre, ce cas correspond à celui vu au paragraphe 3.3.6. (photon arrivant depuis l’infini avec \(b<b_{crit}\).
Voir la figure 6 pour le tracé de la trajectoire (\(b\) calculé pour une variation \(\varphi\) de \(\pi\) soit ½ tour).
Si \(b\) est très légèrement inférieur à \(b_{crit}\), \(p\) effectuera plusieurs tours autour du trou noir avant de s’échapper vers l’infini.
Pour \(b=b_{crit}\) (angle d’émission \(=L_{crit}\)), \(p\) se placera sur l’orbite instable vue précédemment (\(r=r_{crit}\)).
Voir la figure 9 pour le tracé de la trajectoire.
Pour \(b>b_{crit}\), (angle d’émission \(<L_{crit}\)), \(p\) sera sortant dans un premier temps puis entrant dans un second temps et il reviendra dans l’horizon des évènements, son angle d’impact étant le même que son angle d’émission en valeur absolue \(\tan\ L_{émission}=\frac{Rs}{b}\) et \(\tan L_{réception}=-\frac{Rs}{b}\).
Avec par exemple \(b=8\ 075\ m\) (calculé pour une variation de \(\varphi =\pi\) soit un ½ tour), (3.k) donne la valeur de l’apoastre : \(r_{apo}=3\ 784\ m\).
Voir la figure 8 pour le tracé de la trajectoire.
Si \(b\) est très légèrement supérieur à \(b_{crit}\), \(p\) effectuera plusieurs tours autour du trou noir avant d’entrer dans l’horizon des évènements.
Voir la figure 10 pour le tracé de la trajectoire (\(b\) calculé pour une variation \(\varphi\) de \(4\pi\) soit 2 tours).

Coordonnée radiale d’émission \(r_{em}\in[R_s,\ r\) critique \(]\)

La trajectoire de \(p\) sera celle décrite au paragraphe précédent suivant la valeur de \(b\) par rapport à \(b_{crit}\).

Coordonnée radiale d’émission \(r_{em}=r\) critique

\(b\) ne peut dépasser \(b_{crit}\) qui vaut \(b_{max}\) dans ce cas particulier (voir précédemment paragraphe 3.4, en écrivant \(r_{em}=r_{crit}\) dans (3.s)).
Pour \(b=b_{crit}\), l’angle d’émission de \(p\) est nulle ce qui entraîne \({du\over d\phi}=0\) et \(p\) est sur l’orbite instable \(r=r_{crit}\).
Pour \(b<b_{crit}\) , \(p\) est sortant vers l’infini si \({d\varphi\over dt}<0\) tandis que \(p\) est entrant dans l’horizon des évènements si \({d\varphi\over dt}>0\).

Image des disques d’accrétion d’un trou noir

Par définition, il n’est pas possible de voir un trou noir. Cependant, dans le cas d’un trou noir stellaire avec des disques d’accrétion, la lumière émise par ces disques sera déviée suivant les règles vues précédemment.

CONCLUSION

L’application de la mécanique classique pour le calcul des trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique donne un résultat sensiblement différent de celui donné par la relativité générale avec la métrique de Schwarzschild.
Avec \(M\) masse de l’objet, \(R\) son rayon, \(G\) constante de gravitation, \(c\) vitesse de la lumière dans le vide, \(r\) coordonnée radiale du photon, \(b\) paramètre d’impact, \(R_s\) rayon de Schwarzschild \(=\frac{2GM}{c^2}\), \(e\) excentricité \(=\sqrt{1+\frac {4b^2}{Rs^2}}\), \(bcrit=\frac{3\sqrt{3}}{2}R_s\) et \(L_{crit}=\arctan\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right)\), le tableau de synthèse ci-dessous relève les principales différences :

	Mécanique classique	Relativité générale	remarques
Trajectoire	fonction analytique (branche d’hyperbole, parabole, ellipse ou cercle)	intégration numérique
Périastre (photon arrivant depuis l’infini)	\(r_{pér}=\frac{2b^2}{Rs(1+e)}\)	\(r_{pér}=\frac{2b}{\sqrt{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(-\frac{b_{crit}}{b}\right)\right)\) avec \(b>b_{crit}\) voir figures 3 et 4
Coordonnée radiale minimale hors impact (photon arrivant depuis l’infini)	\(R\)	\(\max\left(R,\frac{3}{2}R_s\right)\)	en relativité générale, un photon arrivant depuis l’infini ne peut « s’approcher » à moins de \(\frac{3}{2}R_s\) sans impacter l’objet massif.
Déviation totale (photon arrivant depuis l’infini)	\(\simeq\frac{Rs}{b}\)	\(\simeq\frac{2Rs}{b}\)
Déviation totale maximale (photon arrivant depuis l’infini)	\(180^\circ\)	pas de valeur maximale	en relativité générale, les photons peuvent être capturés sur une orbite circulaire instable autour de l’objet massif créant une sphère de photons.
Rayon apparent d’un objet massif de rayon \(R\) compris entre \(R_s\) et \(\frac{3}{2}R_s\)	\(\simeq R\)	\(b_{crit}\)
Capture (photon arrivant depuis l’infini)	non	oui, sur une orbite de coordonnée radiale \(\frac{3}{2}R_s\) avec \(b=b_{crit}\) voir figure 5	en relativité générale, un photon peut être capturé sur une orbite instable autour de l’objet massif.
Impact (photon arrivant depuis l’infini)	\(b<b_{lim}\) \(=R\sqrt{1+\frac{R_s}{R}}\)	si \(R>\frac{3}{2}R_s\) : \(b<b_{max}=R\sqrt{1-\frac{R_s}{R}}\) si \(R\le\frac{3}{2}R_s\) : \(b<b_{crit}\) avec dans le cas \(R=R_s\) : \(L_{impact}>L_{crit}\simeq 21,1^\circ\) voir figure 6
Étoiles observables depuis l’horizon des évènements d’un trou noir	toutes les étoiles visibles situées entre la hauteur \(-19,5^\circ\) et \(+90^\circ\), avec un diamètre apparent qui diminue avec la hauteur	toutes les étoiles visibles de l’univers, avec un diamètre apparent qui diminue sensiblement avec la hauteur	en relativité générale, toutes les étoiles visibles de l’univers, depuis l’horizon des évènements d’un trou noir apparaissent « rassemblées » dans un disque de hauteur \(L_{crit}\simeq 21,1^\circ\).
Observation et forme de l’image d’une étoile située « derrière » un trou noir sur l’axe passant par l’observateur et le centre du trou noir	condition : l’observateur doit être à une distance suffisante du trou noir. L’image de l’étoile est alors un cercle très fin (« cercle de Newton© »)	pas de condition sur la distance entre l’observateur et l’horizon des évènements du trou noir. L’image de l’étoile est un cercle très fin (dit « anneau d’Einstein »)	en relativité générale, le diamètre de l’anneau est supérieur à celui calculé en mécanique classique.
Apoastre (photon émis depuis \(r_{em}\) compris entre \(R_s\) et \(\frac{3}{2}R_s\))	non	\(r_{apo}=\) \(\frac{2b}{\sqrt{3}}\cos\left({1\over 3}\arccos\left(-\frac{b_{crit}}{b}\right)+\frac{4\pi}{3}\right)\) avec \(b>b_{crit}\) voir figures 8 et 9	en relativité générale, le photon peut atteindre un apoastre et revenir dans l’horizon des évènements.
Capture (photon émis depuis \(r_{em}\) compris entre \(R_s\) et \(\frac{3}{2}R_s\))	non	oui, sur une orbite de coordonnée radiale \(\frac{3}{2}Rs\) avec \(b=b_{crit}\) voir figure 10	en relativité générale, le photon peut rejoindre la sphère de photons.
Libération (photon émis depuis \(r_{em}=R_s\))	pas de condition	\(b<b_{crit}\) soit un angle d’émission \(>L_{crit}\simeq 21,1^\circ\) voir figure 6	la trajectoire de libération d’un photon correspond à sa trajectoire d’impact.
Invariance de la vitesse de la lumière dans le vide	non Si entrant depuis l’infini : \(v(r)=c\sqrt{1+\frac {Rs}{r}}\) Si sortant vers l’infini avec \(r_{em}=R_s\) : \(v(r)=\) \(c\sqrt{1-\frac{Rs}{r}\left(1-\frac {Rs}{r}\right)}\)	oui	en mécanique classique, la vitesse d’un photon dans un champ gravitationnel est variable et peut être < ${\displaystyle <}$ou > \(c\)${\displaystyle >c}$.
Homothétie des trajectoires	si \(b_2=b_1\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}\) alors \(r_2=r_1\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}=r_1\frac{M_2}{M_1}\)	si \(b_2=b_1\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}\) alors \(r_2=r_1\frac{R_{s_2}}{R_{s_1}}=r_1\frac{M_2}{M_1}\)	en mécanique classique et en relativité générale, les trajectoires des photons sont homothétiques dans le rapport \(\frac{M_2}{M_1}\) si \(b_2=\frac{M_2}{M_1}b_1\).

En conclusion, il apparait que la mécanique classique ne permet pas de calculer les trajectoires des photons déviés par un objet massif à symétrie sphérique. Dans le cadre de la relativité générale, la métrique et les coordonnées de Schwarzschild sont une première approche avec des limites pour :
– l’étude des cas astrophysiques, la grande majorité des objets étant en rotation et par conséquent non sphériques,
– l’étude des trous noirs eux-mêmes, le rayon de Schwarzschild étant une barrière immatérielle liée au système de coordonnées utilisé.
Tout en restant dans le cadre de la relativité générale, il est possible de dépasser ces limites avec la métrique de Kerr et le système de coordonnées d’Eddington-Finkelstein dites 3+1.
En synthèse, la relativité générale explique le mieux à l’heure actuelle les phénomènes observés sur la déviation de la lumière par les objets massifs, et a mis en évidence d’autres phénomènes tel que le décalage de fréquence de la lumière des étoiles vers le rouge pour un observateur terrestre, l’effet Shapiro (retard de la lumière) qui peut permettre de mesurer la masse de corps célestes situés à de très grandes distances du système solaire, ou encore le décalage d’horloge des satellites qu’il est nécessaire de corriger pour obtenir la précision GPS.

1. https://www.physagreg.fr/mecanique-22-forces-centrales.php ↩︎
2. https://www.physagreg.fr/mecanique-22-forces-centrales.php ↩︎
3. https://www.physagreg.fr/mecanique-22-forces-centrales.php ↩︎
4. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
5. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
6. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
7. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
8. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
9. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
10. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
11. https://math.stackexchange.com/questions/721076/help-with-using-the-runge-kutta-4th-order-method-on-a-system-of-2-first-order-od ↩︎
12. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎
13. https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf ↩︎